Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ = x²⁰⁰⁷ + y²⁰⁰⁷ = x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸. Tính tổng S = x²⁰⁰⁹ + y²⁰⁰⁹.

Nếu x = y = 1 thì 1²⁰⁰⁶ + 1²⁰⁰⁶ = 1²⁰⁰⁷ + 1²⁰⁰⁷ = 1²⁰⁰⁸ + 1²⁰⁰⁸ = 2 (thỏa mãn).

Nếu x = y = –1 thì (–1)²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ = 2 và (–1)²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷ = –2.

Suy ra (–1)²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ ≠ (–1)²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷.

Nếu x = –1, y = 1 thì (–1)²⁰⁰⁶ + 1²⁰⁰⁶ ≠ (–1)²⁰⁰⁷ + 1²⁰⁰⁷.

Nếu x = 1, y = –1 thì 1²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ ≠ 1²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷.

Nếu x > 1, –1 < y < 1 hoặc x < –1, –1 < y < 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}>x^{2006}\\ x^{2008}-x^{2006}>1\\ y^{2008}<y^{2006}\\ y^{2006}-y^{2008}<1\end{array}\right.$

Suy ra x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ < x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Nếu x > 1, y < –1 hoặc x > 1, y > 1 hoặc x < –1, y < –1 hoặc x < –1, y > 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}>x^{2006}\\ y^{2008}>y^{2006}\end{array}\right.$  .

Suy ra x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸ > x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶.

Nếu –1 < x < 1, y > 1 hoặc –1 < x < 1, y < –1 thì $\left\{\begin{array}{l}{y}^{2008}>y^{2006}\\ y^{2008}-y^{2006}>1\\ x^{2008}<x^{2006}\\ x^{2006}-x^{2008}<1\end{array}\right.$

Suy ra x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ < x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Nếu –1 < x, y < 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}<x^{2006}\\ y^{2008}<y^{2006}\end{array}\right.$ .

Suy ra x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸ < x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶.

Vì vậy x = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ = x²⁰⁰⁷ + y²⁰⁰⁷ = x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Vậy S = x²⁰⁰⁹ + y²⁰⁰⁹ = 1²⁰⁰⁹ + 1²⁰⁰⁹ = 1 + 1 = 2.