Chọn đáp án D

Từ giả thiết ${\log }_{2}a+{\log }_{2}c\ge 2{\log }_{2}b\iff {\log }_2\left(ac\right)\ge {\log }_2{b}^2\iff ac\ge b^2$.

Ta có: $P=\left(a+c\right)+b+\frac{1}{3}{b}^3-2b^2+2\ge 2\sqrt{ac}+b+\frac{1}{3}{b}^3-2b^2+2$.

$\ge 2b+b+\frac{1}{3}{b}^3-2b^2+2=\frac{1}{3}{b}^3-2b^2+3b+2$.

Xét hàm số: $f\left(b\right)=\frac{1}{3}{b}^3-2b^2+3b+2$ với b > 0.

Có $f\text{'}\left(b\right)=b^2-4b+3=0\iff \left[\begin{array}{l}b=1\\ b=3\end{array}\right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được: $\underset{b>0}{\min f\left(b\right)}=f\left(3\right)=2$.

$\Rightarrow P\ge 2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 đạt được khi b = 3 và $a=c=3$.