Cho biểu thức $A=\frac{5}{4}+\frac{10}{9}+\frac{17}{16}+\mathrm{...}+\frac{2501}{2500}$ . Chứng minh biểu thức A có giá trị không phải là số nguyên.

Ta có $A=\frac{5}{4}+\frac{10}{9}+\frac{17}{16}+\mathrm{...}+\frac{2501}{2500}$

$=\frac{4+1}{4}+\frac{9+1}{9}+\frac{16+1}{16}+\mathrm{...}+\frac{2500+1}{2500}$.

$=\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{1}{16}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{2500}\right)$

$=\left(1+\frac{1}{2^2}\right)+\left(1+\frac{1}{3^2}\right)+\left(1+\frac{1}{4^2}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{{50}^2}\right)$

$=49+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}\right)$

Đặt $B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}$

$=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{50.50}$.

Mà $\frac{1}{1.2}<\frac{1}{2.2};\frac{1}{2.3}<\frac{1}{3.3};\frac{1}{3.4}<\frac{1}{4.4};\mathrm{...};\frac{1}{49.50}<\frac{1}{50.50}$  .

Suy ra $B<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{49.50}$ .

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{50-49}{49.50}$.

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}$.

$=1-\frac{1}{50}<1$.

Mà B > 0 nên 0 < B < 1.

Do đó B không phải là số nguyên.

Vậy A = 49 + B không phải là số nguyên (điều phải chứng minh).