Cho bất phương trình log 37/55 2^3-1/2^3+1+ log 37/55 3^3-1/3^3+1+...+log 37/55 x^3-1/ x^3+1<1

Cho bất phương trình ${\log }_{\frac{37}{55}}\frac{2^3-1}{2^3+1}+{\log }_{\frac{37}{55}}\frac{3^3-1}{3^3+1}+\mathrm{...}+{\log }_{\frac{37}{55}}\frac{x^3-1}{x^3+1}<1$ với $x\in \mathbb{N},x>2.$ Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng bao nhiêu? 

Trả lời

Phương pháp:

Rút gọn $\frac{x^3-1}{{\left(x+1\right)}^3+1}=\frac{x-1}{x+2}.$ Từ đó rút gọn biểu thức trong log và giải bất phương trình.

Cách giải:

Ta có:

     ${\log }_{\frac{37}{55}}\frac{2^3-1}{2^3+1}+{\log }_{\frac{37}{55}}\frac{3^3-1}{3^3+1}+\mathrm{...}+{\log }_{\frac{37}{55}}\frac{x^3-1}{x^3+1}<1$

$\iff {\log }_{\frac{37}{55}}\left(\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\mathrm{...}\frac{x^3-1}{x^3+1}\right)<1\left(*\right)$

Ta có: $\frac{x^3-1}{{\left(x+1\right)}^3+1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+2\right)\left[{\left(x+1\right)}^2-\left(x+1\right)+1\right]}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x-1}{x+2}.$

Khi đó

$\left(*\right)\iff {\log }_{\frac{37}{55}}\left(\frac{1}{2^3+1}.\frac{1}{4}.\frac{2}{5}.\frac{3}{6}.\frac{4}{7}\mathrm{...}\frac{x-2}{x+1}.\left(x^3-1\right)\right)<1$

$\iff {\log }_{\frac{37}{55}}\left(\frac{x^3-1}{9}.\frac{\mathrm{1.2.3}}{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)}\right)<1$

$\iff \frac{x^3-1}{9}.\frac{\mathrm{1.2.3}}{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)}>\frac{37}{55}$

$\iff \frac{2}{3}.\frac{x^2+x+1}{x^2+x}>\frac{37}{55}$

$\iff \frac{x^2+x+1}{x^2+x}>\frac{111}{110}$

$\iff \frac{1}{x^2+x}>\frac{1}{110}$

$\iff x^2+x<110$

$\iff -11<x<10$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}2<x<10\\ x\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\Rightarrow x\in \left\{3;4;5;\mathrm{...};9\right\}.$

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng: $3+4+\mathrm{...}+9=\frac{\left(3+9\right).7}{2}=42.$

Chọn D.