Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 5, 7.

A = (2 + 2² ) + (2³ +2⁴ ) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2.(1+2) + 2³ .(1 + 2) + ... + 2⁵⁹.(1 + 2)

A = 2.3 +2³.3 + … + 2⁵⁹ .3

A = 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ )

Vì 3 chia hết cho 3 ⇒ 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ ) chia hết cho 3

⇒ A chia hết cho 3.

A = (2 + 2² + 2³ ) +... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2. (1 + 2 + 2² ) +... + 2⁵⁸ .(1 + 2 + 2² )

A = 2.7 +... +2⁵⁸ .7

A = 7.(2 + ...+ 2⁵⁸ )

Vì 7 chia hết cho 7 ⇒7.(2 + ...+ 2⁵⁸ ) chia hết cho 7

⇒ A chia hết cho 7.

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ )+...+(2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2.(1+ 2 + 2² + 2³ )+...+ 2⁵⁷.( 1+ 2 + 2² + 2³)

A = 2.15 + ... +2⁵⁷ .15

A = 15.(2 + ... +2⁵⁷ )

A = 3.5.(2 + ... +2⁵⁷ )

vì 5 chia hết cho 5 ⇒ 3.5.(2 + ... +2⁵⁷ ) chia hết cho 5

⇒ A chia hết cho 5

Vậy A chia hết cho 3, 5, 7.