Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹. Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?

Ta có : 

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹

⇒ A = 2⁰ + 2¹ + + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹

A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2

⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có:

A = (2⁰ + 2¹) + (2² + 2³) + ... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹)

⇒ A = 1 ∙ (2⁰ + 2¹) + 2² ∙ (2⁰ + 2¹) + ... + 2²⁰¹⁰ ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3

⇒ A + 8 = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8

Do 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3)

Mà 8 ≡ 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 = 3k + 2

⇒ A = 3k + 2

Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1

⇒ A không phải là số chính phương

Vậy A không phải là số chính phương.