Cho 8 số tự nhiên bất kì có 3 chữ số. Chứng minh rằng luôn tại 2 trong 8 số đó viết liền nhau tạo thành 1 số chia hết cho 7.

Chia 1 số tự nhiên (trong 8 số đó) cho 7 ta thu được 1 số dư

⇒ Khi chia cả 8 số đó cho 7 ta sẽ thu được 8 số dư

Mà một phép chia cho 7 có thể dư 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

⇒ Có ít nhất 2 trong 8 số chia cho 7 thì cùng số dư

⇒ Hiệu 2 số đó chia hết cho 7

Gọi 2 số đó là $\overline{abc}$ và $\overline{def}$  (0 ≤ a, b , c, d, e, f ≤ 9; a, d khác 0)

Không mất tính tổng quát, giả sử $\overline{abc}$> $\overline{def}$

Ta có:

$\overline{abcdef}$= 1000$\overline{abc}$ + $\overline{def}$

⇔ $\overline{abcdef}$= 1001$\overline{abc}$ – $\overline{abc}$ + $\overline{def}$

⇔ $\overline{abcdef}$= 7 . 143 . $\overline{abc}$ – $\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)$

Vì 7 . 143 . $\overline{abc}$ chia hết cho 7 và $\left(\overline{abc}-\overline{def}\right)$ chia hết cho 7 nên $\overline{abcdef}$chia hết cho 7.

Vậy luôn tại 2 trong 8 số đó viết liền nhau tạo thành 1 số chia hết cho 7.