Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$ .

Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e . ta có a+ b + c + d + e = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử  0 < a < b < c < d < e 

Nhận xét: c + d <$\frac{2}{3}$  . Vì nếu c + d >  $\frac{2}{3}$

Ta có: 2e > c + d > $\frac{2}{3}$ ⇒ e  > $\frac{1}{3}$ ⇒ e + c + d > $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$   = 1 .

Mâu thuẫn với a + b + c + d + e = 1 và a, b, c, d, e không âm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$cd < \frac{1}{4}{\left(c+d\right)}^2 \Rightarrow cd < \frac{1}{9}$

Mặt khác:

1 = a + b + c + d + e  > a + 3b + e  >  3b + e  > $2\sqrt{3be}$

Suy ra: $be\le {\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{12}<\frac{1}{9}$

Ta có: ae < be <$\frac{1}{12}<\frac{1}{9}$  ; bc < cd < $\frac{1}{9}$ ; da < dc < $\frac{1}{9}$

Vậy có thể sắp xếp 5 số a, b, c, d, e theo thứ tự như sau: a, e, b, c, d đều thỏa mãn tích 2 số bất kì cạnh nhau không vượt quá $\frac{1}{9}$.