c) Vẽ trung tuyến AM và đường cao AH. BF cắt AH và AM tại P và Q. Hỏi APEQ là hình gì?

c) Vì tứ giác ABEF là hình vuông nên I là trung điểm AE.

Xét ∆ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

⇒ AM = MB = MC (tính chất trung tuyến tam giác vuông)

⇒ ∆AMC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Mà $\widehat{MCA}=\widehat{ABH}$(cùng phụ $\widehat{ABC}$)

⇒$\widehat{MAC}$= $\widehat{BAH}$

Xét ∆ABP và ∆AFQ có:

AB = AF

$\widehat{BAP}=\widehat{FAQ}$

$\widehat{ABP}=\widehat{AFQ}$ (do ∆ABF cân tại A)

Do đó ∆ABP = ∆AFQ (g.c.g)

Suy ra AP = AQ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra ∆APQ cân tại A, có AI là đường cao nên AI đồng thời là trung tuyến.

Do đó I là trung điểm PQ.

Xét tứ giác APEQ có: I là trung điểm AE và PQ.

Suy ra tứ giác APEQ là hình bình hành.

Lại có AE vuông góc PQ.

Vậy tứ giác APEQ là hình thoi.