Biết rằng (cos^3x.sin 3x+ sin^3x.cos 3x) dx= a/b cos 4x+ C với

Biết rằng $\underset{}{\overset{}{\int }}\left({\cos }^{3}x.\sin 3x+{\sin }^{3}x.\cos 3x\right)dx=\frac{a}{b}\cos 4x+C$ với $a,b\in \mathbb{Z},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $\left(a<0,b>0\right)$, tính 2a + b 

Trả lời

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức: ${\cos }^{3}x=\frac{3\cos x+\cos 3x}{4},{\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4},\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}\sin kxdx=-\frac{1}{k}\cos kx+C.$

Cách giải:

Ta có:

$\underset{}{\overset{}{\int }}\left({\cos }^{3}x.\sin 3x+{\sin }^{3}x.\cos 3x\right)dx$

$=\underset{}{\overset{}{\int }}\left(\frac{3\cos x+\cos 3x}{4}.\sin 3x+\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}.\cos 3x\right)dx$

$=\frac{1}{4}\underset{}{\overset{}{\int }}\left(3\sin 3x\cos x+\sin 3x\cos 3x+3\sin x\cos 3x-\sin 3x\cos 3x\right)dx$

$=\frac{3}{4}\underset{}{\overset{}{\int }}\sin 4xdx=-\frac{3}{16}\cos 4x+C$

$\Rightarrow a=-3,b=16.$ Vậy $2a+b=2.\left(-3\right)+16=10.$

Chọn D.