Câu hỏi:
03/04/2024 61
Biết hệ số của số hạng chứa\[{x^2}\]trong khai triển\[{\left( {1 + 4x} \right)^n}\]là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
A. 24
B. 26
C. 28
D. 20
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Phương pháp:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton:\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}.} \]
Cách giải:
\[{\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {4x} \right)}^k}{1^{n - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{4^k}{x^k}} .\]
Hệ số của số hạng chứa \[{x^2}\]trong khai triển trên là\[C_n^2{4^2} = 16C_n^2.\]
Theo bài ra ta có:\[16C_n^2 = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 190.\]
\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 380 \Leftrightarrow {n^2} - n - 380 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 19\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]
Vậy\[n = 20.\]
Đáp án D
Phương pháp:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton:\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}.} \]
Cách giải:
\[{\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {4x} \right)}^k}{1^{n - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{4^k}{x^k}} .\]
Hệ số của số hạng chứa \[{x^2}\]trong khai triển trên là\[C_n^2{4^2} = 16C_n^2.\]
Theo bài ra ta có:\[16C_n^2 = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 190.\]
\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 380 \Leftrightarrow {n^2} - n - 380 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 19\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]
Vậy\[n = 20.\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 3 điểm trong các điểm nói trên?
Câu 2:
b) Một hộp đựng tám thẻ được ghi từ 1 đến 8. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11.
Câu 3:
Tìm tập xác định của hàm số\[y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \sin x}}} .\]
Câu 4:
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển\[{\left( {{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}}.\]
Câu 5:
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \(12\sin x - 5\cos x = m\)có nghiệm.
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn\[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\]. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn (C) thành đường tròn\[\left( {C'} \right)\]có phương trình là:
Câu 7:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng\[\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\]?
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD, biết AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại O. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) .
Câu 9:
Một bộ đề thi Olimpic Toán lớp 11 của Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.
Câu 10:
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau và một loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
Câu 11:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình\[{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\]và điểm I (2;l). Phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 biến đường tròn\[\left( C \right)\]thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn\[\left( {C'} \right)\].
Câu 12:
Gieo con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện ở hai lần là một số tự nhiên lẻ?
Câu 13:
Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
Câu 14:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).
