Bất phương trình log 2(x^2-x-2) lớn hơn bằng log 0,5(x-1)+1 có bao nhiêu nghiệm nguyên

Bất phương trình ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}\left(x-1\right)+1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $\left[0;2021\right]?$

Trả lời

Phương pháp:

- Đưa về cùng cơ số.

- Sử dụng công thức ${\log }_{a}f\left(x\right)+{\log }_{a}g\left(x\right)={\log }_a\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]\left(0<a\ne 1,f\left(x\right),g\left(x\right)>0\right).$

- Giải bất phương trình logarit: ${\log }_{a}f\left(x\right)\ge b\iff f\left(x\right)\ge a^b\left(a>1\right).$

Cách giải:

     ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}\left(x-1\right)+1$

$\iff {\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge -{\log }_2\left(x-1\right)+1$

$\iff {\log }_2\left(x^2-x-2\right)+{\log }_2\left(x-1\right)\ge +1$

$\iff {\log }_2\left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)\ge 1$

$\iff \left(x^2-x-2\right)\left(x-1\right)\ge 2$

$\iff x^3-x^2-2x-x^2+x+2\ge 2$

$\iff x^3-2x^2-x\ge 0$

$\iff \left[\begin{array}{l}1-\sqrt{2}\le x\le 0\\ x\ge 1+\sqrt{2}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện đề bài $x\in \left[0;2021\right],x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{0;3;4;5;\mathrm{...};2021\right\}$

Vậy bất phương trình đã cho có 2020 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Chọn D.