Ba số  $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Ta có:  $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ là một cấp số cộng nên ta có:

 $\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

 $\iff \frac{b-a}{b\left(b-a\right)}-\frac{2b}{b\left(b-a\right)}=\frac{2b}{b\left(b-c\right)}-\frac{b-c}{b\left(b-c\right)}$

 $\iff \frac{-a-b}{b\left(b-a\right)}=\frac{b+c}{b\left(b-c\right)}$

 $\iff \frac{\left(-a-b\right)\left(b-c\right)}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(b-a\right)}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}$

 $\iff \left(-a-b\right)\left(b-c\right)=\left(b+c\right)\left(b-a\right)$

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² – ab + bc – ac

⇔ 2b² – 2ac = 0