Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ (2024) cực hay

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ

1. Phương pháp giải

1.1. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

+ Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

⇒ O₁O₂ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:

- Trung điểm I của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Bán kính: R = IA
= 

Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp (giao các đường chéo).

- Bán kính
R = 

1.2. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R = 

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm²                             B. 24cm²

C. 8√7cm²                         D. 8(1 + 2√7) cm²

Hướng dẫn giải:

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
S_ABC =  .AB.BC =  =  AB² = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO =  = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_tp = S_{2 đay} + S_xq

= 2.2² + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 30^o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.

+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O₁ – trung điểm của cạnh huyền AB.

Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O₂ – trung điểm của cạnh huyền A’B’.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

+ Xác định góc của đường AC’ và (ABC):

+ Xét tam giác ACC’:

+ Xét tam giác ABC có:

+ xét tam giác AIO₁ có:

Thể tích khối cầu là:
V = 

Chọn D.

Ví dụ 3. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:

A. S = 2π                    B. S = 4π
C. S = 3π                    D. S = π

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm

⇒ độ dài một cạnh là a = 1 cm

Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r =  =  cm

Diện tích của mặt cầu là: S = 4π()² cm²

Chọn D

Ví dụ 4. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % của chiếc hộp.

A. 65, 09%.              B. 47,64%.                C. 82,55 %.                   D. 83,3%.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d; d; 3d.

Bán kính của mỗi quả bóng là r = 

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V₁ = d.d.3d = 3d³.

Thể tích của ba quả bóng bàn là

Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:
V₃ = V₁ - V₂ = 3d³ - 

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R₁, R₂, R₃ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R₂² = R₁.R₃                         B. R₂² = R₁² + R₃²

C. R₁² = R₂² + R₃²                  D. R₃² = R₁.R₂ .

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R₁ = IA = 

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R₂ = IO

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R₃ = IM

Ta có R₁, R₂, R₃ như trên hình vẽ.

Kiểm tra ta thấy: R₁² = R₂² + R₃²

Chọn C.

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1 Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh . Thể tích của khối trụ bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có, chiều cao của hình trụ là: h = a

Đáy của hình trụ là hình tròn nội tiếp hình lập phương cạnh a nên bán kính đường tròn đáy của hình trụ là:

Khi đó, thể tích hình trụ tạo ra là:

Chọn D

Bài 2 Cho một hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Biết mặt phẳng (AB’C’) hợp với mặt đáy (A’B’C’) một góc bằng 45⁰. Cho một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ (hình trụ có các đường tròn đáy ngoại tiếp các mặt của hình lăng trụ). Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm B’C’.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên AI ⊥ B'C'
và A'I ⊥ B'C' .

Do đó góc giữa ( AB’C’) và (A’B’C’) là  = 45⁰ .

Suy ra tam giác AA’I vuông cân tại A’ nên
AA’ = A’I = 

Suy ra: 

Do đó diện tích xung quanh:

Thể tích khối trụ là:

Chọn A

Bài 3 Cho một hình nón đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 6cm và có thiết diện qua trục là tam giác đều. Cho một hình trụ có hai đường tròn đáy là (O; r) và (I; r), có thiết diện qua trục là hình vuông, biết đường tròn (O; r) nằm trên mặt đáy của hình nón, đường tròn (I; r) nằm trên mặt xung quanh của hình nón ( I thuộc đoạn SO). Tính thể tích khối trụ.

A. 432π(26√3 - 45) .    B. 1296π(26√3 - 45) .

C. 1296π(7 - 4√3) .    D. 432π(7 - 4√3) .

Hướng dẫn giải:

* Hình nón có bán kính đường tròn đáy
R = 6cm và có thiết diện qua trục là tam giác đều nên có

SM = 2R = 12cm, SO = SM. = 6√3

* Đặt SI = x, vì BI // AO nên ta có:

Chiều cao của hình trụ là:
h = OI = SO - SI = 6√3 - x

Do đó, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông khi và chỉ khi:

Khi đó: h = 6√3 - x = 12(2√3 - 3);
r =  = 6(2√3 - 3)

Thể tích khối trụ là:

V = πr²h
= π.[6(2√3 - 3)]².12(2√3 - 3)
= 1296π(26√3 - 45)

Chọn B.

Bài 4 Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng 72π . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. 12π    B. 16π    C. 18π    D. 36π

Hướng dẫn giải:

Ta có diện tích của mặt cầu là:
S_mc = 4πR² = 72π ⇔ R = 3√2

Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên h = 2r.

Nên: R = r√2 = 3√2 ⇔ r = 3 ⇒ h= 6.

Do đó diện tích xung quanh hình trụ là:
S = 2πrh = 2π.3.6 = 36π

Chọn D.

Bài 5 Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy
r = 10, chiều cao bằng 20. Người ta khoét rỗng khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu. Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ.

Hướng dẫn giải:

*Thể tích ban đầu của khối gỗ:

V = πr²h = π.10².20 = 2000π

* Thể tích của phần gỗ bị khoét đi là:

* Thể tích còn lại của khối gỗ sau khi khoét là:

* Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ:

Chọn A

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về mặt cầu (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập khái niệm về mặt tròn xoay (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập khái niệm về khối đa diện ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về khối đa diện lồi và khối đa diện đều ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về phương trình mặt phẳng (có đáp án năm 2023)