Bài tập về con lắc lò xo

Kiến thức cần nhớ

Phương trình chuyển động của con lắc lò xo

+ Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m.

+ Tại thời điểm t bất kì vật có li độ x. Lực đàn hồi của lò xo F = − kx.

+ Áp dụng định luật II Niutơn ta có: . Đặt:  viết lại:

 ; nghiệm của phương trình là  là một hệ dao động điều hòa

+ Chu kì dao động của con lắc lò xo:  

+ Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa

Biểu thức tính lực kéo về: F = − kx.

Năng lượng của con lắc lò xo

+ Thế năng:  

+ Động năng : W_đ  

Động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên tuần hoàn với tần số góc  tần số, tần số f’ = 2f và chu kì T’ = T/2.

+ Cơ năng: W = W_t + W_đ=  = hằng số.

Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.

Điều kiện ban đầu: sự kích thích dao động.

A. Điều kiện đầu:

Khi t = 0 thì:  

• Giải hệ trên ta được A và ω.

B. Sự kích thích dao động:

+ Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng đến li độ x₀ và thả nhẹ (v₀ = 0).

+ Từ vị trí cân bằng (x₀ = 0) truyền cho vật vận tốc v₀.

+ Trong trường hợp tổng quát để kích thích cho hệ dao động ta đua vật ra khỏi vị trí cân bằng đến li độ x₀ và đồng thời truyền cho vật vận tốc v₀.

Các dạng bài tập về con lắc lò xo

Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức ω, f, T, m, k

1. Con lắc lò xo dao động trong hệ quy chiếu quán tính

 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}};f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}};T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{\Delta t}{n}$

* Cố định k cho m biến đổi:  $\frac{T\text{'}}{T}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m\text{'}}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{m\text{'}}{m}}$

$\left\{\begin{array}{l}{T}_1=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}=\frac{\Delta t_1}{n}\\ T_2=2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}=\frac{\Delta t_2}{n}\\ T_{tong}=2\pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}=\frac{\Delta t_{tong}}{n_{tong}}\\ T_{hieu}=2\pi \sqrt{\frac{m_1-m_2}{k}}=\frac{\Delta t_{hieu}}{n_{hieu}}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{T}_1^2+T_2^2=T_T^2\\ T_1^2-T_2^2=T_n^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{f_1^2}+\frac{1}{f_2^2}=\frac{1}{f_T^2}\\ \frac{1}{f_1^2}-\frac{1}{f_2^2}=\frac{1}{f_h^2}\end{array}\right.$

* Phương pháp đo khối lượng:  $\left\{\begin{array}{l}{T}_0=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}\Rightarrow \frac{T_0^2}{4{\pi }^2}=\frac{M}{k}\\ T=2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}\Rightarrow \frac{T^2}{4{\pi }^2}=\frac{M+m}{k}\end{array}\right.\Rightarrow m=?$

Dạng 2. Bài toán liên quan đến cơ năng, thế năng, động năng

Ta xét các bài toán sau: 

+ Vận dụng công thức tính cơ năng, thế năng, động năng.

+ Khoảng thời gian liên quan đến cơ năng, thế năng, động năng.

1. Vận dụng công thức tính cơ năng, thế năng, động năng

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)\\ v=-\omega A\sin \left(\omega t+\phi \right)=\omega A\cos \left(\omega t+\phi +\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}{W}_t=\frac{k{x}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}{\cos }^2\left(\omega t+\phi \right)=\frac{k{A}^2}{4}\left[1+\cos \left(2\omega t+2\phi \right)\right]\\ W_d=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{\omega }^2{A}^2}{2}{\sin }^2\left(\omega t+\phi \right)=\frac{k{A}^2}{4}\left[1-\cos \left(2\omega t+2\phi \right)\right]\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\omega \text{'}=2\omega \\ f\text{'}=2f\\ T\text{'}=\frac{T}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} T=\frac{\Delta t}{n}\text{'}\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f=\frac{2\pi }{T} \\ W=W_t+W_d=\frac{k{x}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{\omega }^2{A}^2}{2}=\frac{k{A}^2}{2}=\frac{m{v}_{\max }^2}{2} \\ \left\{\begin{array}{l}k=m{\omega }^2\\ a=-{\omega }^{2}x\Rightarrow x=-\frac{a}{{\omega }^2}=-\frac{ma}{k}\end{array}\right.\Rightarrow W=\frac{{\left(ma\right)}^2}{2k}+\frac{m{v}^2}{2} \end{gathered}$$

Dạng 3. Bài toán liên quan đến cắt ghép lò xo

Ta xét các bài toán:

+ Cắt lò xo.

+ Ghép lò xo.

1. Cắt lò xo

Giả sử lò xo có cấu tạo đồng đều, chiều dài tự nhiên  , độ cứng k₀, được cắt thành các lò xo khác nhau. $k=E\frac{S}{\mathcal{l}}\Rightarrow k\mathcal{l}=ES=const\left\{\begin{array}{l}{k}_0{\mathcal{l}}_0=k_1{\mathcal{l}}_1=k_2{\mathcal{l}}_2=\mathrm{....}=k_n{\mathcal{l}}_n\\ {\mathcal{l}}_0={\mathcal{l}}_1+{\mathcal{l}}_2+\mathrm{...}+{\mathcal{l}}_n\end{array}\right.$

Nếu cắt thành 2 lò xo thì $k_0{\mathcal{l}}_0=k\mathcal{l}=k\text{'}\mathcal{l}\text{'}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=k_0\frac{{\mathcal{l}}_0}{\mathcal{l}}\\ k\text{'}=k_0\frac{{\mathcal{l}}_0}{\mathcal{l}\text{'}}\end{array}\right.$

Nếu lò xo được cắt thành n phần bằng nhau.

 ${\mathcal{l}}_1={\mathcal{l}}_2=\mathrm{...}={\mathcal{l}}_n=\frac{{\mathcal{l}}_0}{2}\Rightarrow k_1=k_2=\mathrm{....}{k}_n=n{k}_0$

+ ω, f tăng $\sqrt{n}$  lần.

+ T giảm $\sqrt{n}$  lần.

Dạng 4. Bài toán liên quan đến chiều dài của lò xo và thời gian lò xo nén, dãn

1. Bài toán liên quan đến chiều dài của lò xo

Phương pháp giải

Xét trường hợp vật ở dưới.

+ Tại VTCB:  ${\mathcal{l}}_{CB}={\mathcal{l}}_0+\Delta {\mathcal{l}}_0$

+ Tại vị trí li độ x:  $\mathcal{l}={\mathcal{l}}_{CB}+x\left\{\begin{array}{l}{\mathcal{l}}_{\max }={\mathcal{l}}_{CB}+A\\ {\mathcal{l}}_{\min }={\mathcal{l}}_{CB}-A\end{array}\right.$

+ Nếu $A\le \Delta \mathcal{l}$  thì khi dao động lò xo luôn luôn bị dãn:

+ Dãn ít nhất (khi vật cao nhất):  $\Delta {\mathcal{l}}_0-A$

+ Dãn nhiều nhất (khi vật thấp nhất):  $\Delta {\mathcal{l}}_0+A$

+ Nếu A > Δl thì khi dao động lò xo có lúc dãn có lúc nén: 

+ Nén nhiều nhất (khi vật cao nhất):  $A-\Delta {\mathcal{l}}_0$

+ Không hiến dạng khi:  $x=-\Delta {\mathcal{l}}_0$

+ Dãn nhiều nhất (khi vật thấp nhất):  $\Delta {\mathcal{l}}_0+A.$

Dạng 5. Bài toán liên quan đến lực đàn hồi kéo về

Ta xét các bài toán:

+ Con lắc lò xo dao động theo phương ngang.

+ Con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng, xiên.

Phương pháp giải

+ Lực kéo về luôn có xu hướng đưa vật về VTCB và có độ lớn tỉ lệ với li độ (F = k|x|). + Lực đàn hồi luôn có xu hướng đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng, có độ lớn tỉ lệ với độ biến dạng của lò xo (F_d = k|A$\mathcal{l}$ |).

1. Con lắc lò xo dao động theo phương ngang

* Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực hồi phục và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng).

 $$\begin{gathered} \left|\Delta \mathcal{l}\right|=\left|x\right|\Rightarrow F_{dh}=F=k\left|\Delta \mathcal{l}\right|=k\left|x\right| \\ x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)\Rightarrow F_{dh\max }=F_{\max }=kA=m{\omega }^{2}A\Rightarrow x^2+\frac{v^2}{{\omega }^2}=A^2\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{F}{k}\\ v=\frac{p}{m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Dạng 6. Bài toán liên quan đến sợi dây trong cơ hệ

Phương pháp chung 

Muốn hệ dao động điều hòa thì sợi dây phải luôn căng muốn vậy lò xo phải luôn dãn, tức là $A\le \Delta {\mathcal{l}}_0=\frac{mg}{k}$   

Lực căng sợi dây luôn bằng độ lớn lực đàn hồi (lực kéo) :  $R=k\Delta \mathcal{l}=k\left(\Delta {\mathcal{l}}_0+x\right)$

+ $R_{\min }=k\left(\Delta {\mathcal{l}}_0-A\right)=mg-kA$  (Khi vật ở VT cao nhất)

+ $R_{\max }=k\left(\Delta {\mathcal{l}}_0+A\right)=mg+kA$  ( Khi vật ở VT thấp nhất )

Nếu sợi dây chỉ chịu được lực kéo tối đa F₀ thì điều kiện để sợi dây không đứt là  $R_{\max }\le F_0$

Dạng 7. Bài toán liên quan đến kích thích dao động

Ta khảo sát các dạng toán sau:

+ Kích thích dao động bằng va chạm

+ Kích thích dao động bằng lực

1. Kích thích dao động bằng va chạm

a. Va chạm theo phương ngang

* Vật m chuyển động với vận tốc v₀ đến va chạm mềm vào vật M đang đứng yên thì $m{v}_0=\left(m+V\right)V\Rightarrow V=\frac{m{v}_0}{m+M}$

 (Vận tốc của hệ ở VTCB)

Nếu sau va chạm cả hai vật (M + m) cùng dao động điều hòa  $\left\{\begin{array}{l}\omega =\sqrt{\frac{k}{m+M}}\\ A=\frac{V}{\omega }\end{array}\right.$

* Vật m chuyển động với vận tốc v₀ đến va chạm đàn hồi vào vật M đang đứng yên ngay sau va chạm vận tốc của m và M lần lượt là v và V: $\left\{\begin{array}{l}m{v}_0=mV+MV\\ \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}M{V}^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}V=\frac{2m{v}_0}{m+M}\\ v=\frac{m-M}{m+M}{v}_0\end{array}\right.$

 (Vận tốc của M ở VTCB)

Nếu sau va chạm M dao động điều hòa thì  $\left\{\begin{array}{l}\omega =\sqrt{\frac{k}{M}}\\ A=\frac{V}{\omega }\end{array}\right.$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Vật dao động điều hoà với tần số 2,5 Hz. Tại một thời điểm vật có động năng bằng một nửa cơ năng thì sau thời điểm đó 0,05 (s) động năng của vật

A. Có thể bằng không hoặc bằng cơ năng.

B. Bằng hai lần thế năng.

C. Bằng thế năng.

D. Bằng một nửa thế năng

Lời giải:

Chọn A

Ví dụ 2. Một vật có khối lượng 1 (kg) dao động điều hoà dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) với biên độ 10 cm. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = -6 cm đến vị trí x = +6 cm là 0,1 (s). Cơ năng dao động của vật là

A. 0,5 J     B. 0,83 J     C. 0,43 J     D. 1,72 J

Lời giải:

Chọn D

Ví dụ 3. Một vật dao động điều hòa với biên độ A dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng). Thời gian ngắn nhất đi từ vị trí x = 0 đến vị trí x = 0,5A√3 là π/6 (s). Tại điểm cách vị trí cân bằng 2 cm thì nó có vận tốc là 4√3 cm/s. Khối lượng quả cầu là 100 g. Năng lượng dao động của nó là

A. 0,32 mJ     B. 0,16 mJ

C. 0,26 mJ      D. 0,36 mJ.

Lời giải:

Chọn A

Ví dụ 4. Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình: x = Acosωt. Thời điểm lần thứ hai thế năng bằng 3 lần động năng là

A. π/(12ω)     B. 5π/(6ω)     C. 0,25π/ω     D. π/(6ω)

Lời giải:

Chọn B

Ví dụ 5. Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 1 kg và lò xo có độ cứng 100π² N/m. Từ vị trí cân bằng kéo vật theo phương ngang một đoạn A, rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Sau khoảng thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu, kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lần thế năng đàn hồi lò xo?

A. 1/15 s     B. 1/30 s     C. 1/60 s     D. 2/15 s

Lời giải:

Chọn B

Bài tập tự luyện

Câu 1. Một vật nhỏ khối lượng 1 kg thực hiện dao động điều hòa theo phương trình x = Acos4t cm, với t tính bằng giây. Biết quãng đường vật đi được tối đa trong một phần tư chu kì là 0,1√2 m. Cơ năng của vật bằng

A. 0,16 J     B. 0,72 J     C. 0,045 J     D. 0,08 J.

Lời giải:

Chọn D

Từ bài toán phụ “quãng đường đi vật được tối đa trong một phần tư chu kì là 0,1√2 m” để tìm

Câu 2. Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ khối lượng 500 g và lò xo có độ cứng 50 N/m. Cho con lắc dao động điều hòa trên phương nằm ngang. Tại thời điểm vận tốc của quả cầu là 0,1 m/s thì gia tốc của nó là -√3 m/s². Cơ năng của con lắc là

A. 0,02 J     B. 0,05 J     C. 0,04 J      D. 0,01 J.

Lời giải:

Chọn D

Câu 3. Một con lắc lò xo gồm vật nặng 0,2 kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 20 N/m. Kéo quả nặng ra khỏi vị trí cân bằng rồi thả nhẹ cho nó dao động, tốc độ trung bình trong 1 chu kì là 160/π cm/s. Cơ năng dao dao động của con lắc là

A. 320 J     B. 6,4.10^-2 J     C. 3,2.10^-2 J     D. 3,2 J.

Lời giải:

Chọn B

Câu 4. CĐ-2010) Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m , dao động điều hòa với biên độ 0,1 m. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi viên bi cách vị trí cân bằng 6 cm thì động năng của con lắc bằng

A. 0,64 J     B. 3,2 mJ     C. 6,4 mJ      D. 0,32 J.

Lời giải:

Chọn D

Câu 5. Một con lắc lò xo mà lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ dao động điều hòa. Khi vật có động năng 0,01 J thì nó cách vị trí cân bằng 1 cm. Hỏi khi nó có động năng 0,005 J thì nó cách vị trí cân bằng bao nhiêu?

A. 6 cm     B. 4,5 cm     C. √2 cm     D. 3 cm.

Lời giải:

Chọn C

Câu 6. Con lắc lò xo gồm vật khối lượng 1 kg, lò xo độ cứng 100 N/m đặt trên mặt phẳng nghiêng góc 30°. Kéo vật đến vị trí lò xo dãn 8 cm rồi buông tay nhẹ để vật dao động điều hoà. Tính động năng cực đại của vật. Lấy g = 10 m/s²

A. 0,45 J     B. 0,32 J     C. 0,05 J     D. 0,045 J

Lời giải:

Chọn D

Câu 7. Một vật có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa với chu kì T = π/10 (s), biên độ 5 cm. Tại vị trí vật có gia tốc a = 1200 cm/s² thì động năng của vật bằng

A. 320 J     B. 160 J     C. 32 mJ     D. 16 mJ.

Lời giải:

Chọn C

Câu 8. Một vật dao động đều hòa dọc theo trục Ox. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Ở thời điểm độ lớn vận tốc của vật bằng 50% vận tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và cơ năng của vật là

A. 3/4     B. 1/4     C. 4/3     D. 1/2

Lời giải:

Chọn B

Câu 9. Một vật dao động điều hòa với biên độ 6cm. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi vật có động năng bằng 3/4 lần cơ năng thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn

A. 6 cm     B. 4,5 cm     C. 4 cm     D. 3 cm.

Lời giải:

Chọn D

Câu 10. Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s. Biết rằng khi động năng và thế năng (mốc ở vị trí cân bằng của vật) bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s. Biên độ dao động của con lắc là

A. 6 cm     B. 6√2 cm     C. 12 cm     D. 12√2 cm.

Lời giải:

Chọn B

Câu 11. Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, mốc thế năng ở vị trí cân bằng, khi thế năng bằng 1/8 động năng thì

A.. lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn bằng 1/3 lực đàn hồi cực đại.

B. tốc độ của vật bằng 1/3 tốc độ cực đại.

C. lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn bằng 1/9 lực đàn hồi cực đại

D. vật cách vị trí tốc độ bằng 0 một khoảng gần nhất là 2/3 biên độ.

Lời giải:

Chọn D

Toàn bộ có 9 phần: thế năng “chiếm 1 phần” và động năng “chiếm 8 phần”

Vật cách VTCB một khoảng A/3 tức là cách vị trí biên 2A/3

Chú ý: Với bài toán cho biết W, v, x (hoặc a) yêu cầu tìm A thì trước tiên ta tính k trước (nếu chưa biết) rồi mới tính A.

Câu 12. Con lắc lò xo mà vật dao động có khối lượng 1 kg, dao động điều hòa với cơ năng 125 mJ. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc 25 cm/s và gia tốc 6,25√3 m/s² . Biên độ của dao động là

A. 2 cm. B. 3 cm. C. 4 cm. D. 5 cm.

Lời giải:

Chọn A

Câu 13. Con lắc lò xo mà vật dao động có khối lượng 100 g, dao động điều hòa với cơ năng 2 mJ. Biết gia tốc cực đại 80 cm/s² . Biên độ và tần số góc của dao động là

A. 4 cm và 5 rad/s

B. 0,005 cm và 40π rad/s

C. 10 cm và 2 rad/s

D. 5 cm và 4 rad/s

Lời giải:

Chọn D

Câu 14. Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Vật có khối lượng 500 g, cơ năng của con lắc bằng 0,01 (J). Lấy mốc thời gian khi vật có vận tốc 0,1 m/s và gia tốc là -1 m/s². Giá trị ω và φ lần lượt là

Lời giải:

Chọn D

Câu 15. Một con lắc lò xo dao động với tần số góc 20 (rad/s). Tại thời điểm t₁ và t₂ = t₁ + Δt, vật có thế năng (mốc ở vị trí cân bằng của vật) bằng bốn lần động năng. Giá trị nhỏ nhất của Δt là

A. 0,111 s     B. 0,046 s     C. 0,500 s     D. 0,750 s

Lời giải:

Chọn B

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác

80 bài tập về mạch điện xoay chiều có R, L, C mắc nối tiếp (có đáp án năm 2023) - Vật lí 12

100 bài tập về máy biến áp (có đáp án năm 2023) - Vật lí 12

100 bài tập về tổng hợp dao động điều hòa (có đáp án năm 2023) - Vật lí 12

80 bài tập về các loại dao động và cộng hưởng cơ (có đáp án năm 2023) - Vật lí 12

100 bài tập về giao thoa sóng cơ (có đáp án năm 2023) - Vật lí 12