70 Bài tập Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông (có đáp án năm 2024) - Toán 7

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Kiến thức cần nhớ

1. Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông:

- Hai cạnh góc vuông (hay là trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AB = A’B’; AC = A’C’

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’

- Cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh đó (hay là trường hợp góc - cạnh - góc).

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AC = A’C’; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’ 

- Cạnh huyền và góc nhọn.

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc - cạnh - góc)

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có BC = B’C’; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’

2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông:

Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF $(\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o)$ có BC = EF, AC = DF thì $\Delta \text{\hspace{0.17em}ABC}=\Delta DEF$.

Các dạng bài tập về trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Phương pháp giải:

+) Xét hai tam giác vuông.

+) Kiểm tra các điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.

+) Kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.

Phương pháp giải:

+ Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là đoạn thẳng (góc) cần tính hoặc chứng minh bằng nhau.

+ Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết luận hai tam giác bằng nhau.

+ Suy ra các cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.

Bài tập (có đáp án)

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng điền “Đ”, khẳng định nào là sai điền “S” vào ô trống dưới đây:

Các tam giác ABC và DEF có $\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o$.

a) Nếu BC = EF, AC = DE thì hai tam giác này bằng nhau.

b) Nếu BC = EF, $\widehat{B}=\widehat{F}$ thì hai tam giác này bằng nhau.

c) Nếu AC = DE và $\widehat{B}=\widehat{E}$ thì hai tam giác này bằng nhau.

Bài 2: Có mấy cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình vẽ sau đây:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 3: Nêu tên cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn trong hình vẽ sau:

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’, biết AB = A’B’.  Để $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(cạnh góc vuông – góc nhọn kề) thì cần thêm điều kiện gì?

Bài 5: Cho hình vẽ:

Biết $\Delta ABD=\Delta DCA$. Chứng minh $\Delta ABE=\Delta DCF.$

Bài 6: Cho tam giác ABC. Đường phân giác AD $\left(D\in BC\right)$. Từ D kẻ $DE\perp AB,$$DF\perp AC$ $\left(E\in AB,F\in AC\right)$. Chứng minh rằng:

$\text{a)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta ADE=\Delta ADF.$

b) Để BE = CF thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì ?

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H $\in$BC). Chứng minh rằng:

a) HB = HC

b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Kẻ đường vuông góc với Ox tại A, đường vuông góc với Oy tại B, chúng cắt nhau tại C.

a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.

b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại  A, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho $BD=CE<\frac{BC}{2}$. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với BC cắt AB tại M, đường thẳng kẻ từ E vuông góc với BC  cắt AC tại N. Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) EM = DN

c) Tam giác ADE cân.

Bài 10: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (A$\in$Ox), KB vuông góc với Oy ( B$\in$Oy)

a) Chứng minh: KA = KB.

b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

c) Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E.

Chứng minh: KD = KE.

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

a), b) Đúng                    

c) Sai.

Bài 2: Đáp án C.

Bài 3: $\Delta ACB=\Delta CAD$, $\Delta DBC=\Delta BDA$

Bài 4: $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}.$

Bài 5: $\Delta ABE=\Delta DCF$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Bài 6:

a) $\Delta ADE=\Delta ADF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Tam giác ABC cân tại A.

Bài 7:

a)  

$\Delta ABH=\Delta ACH$(cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow HB=HC$

b) Từ câu a ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ 

Từ đó suy ra đpcm.

Bài 8:

a) $\Delta OAC=\Delta OBC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOC}$

nên OC là tia phân giác góc xOy.

b) $\Delta OMI=\Delta ONI$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow IM=IN$

Bài 9:

a) $\Delta MDB=\Delta NEC$(cạnh góc vuông - góc nhọn) suy ra MD = NE

b) $\Delta MDE=\Delta NED$(hai cạnh góc vuông) suy ra ME = ND

$\text{c)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)$ suy ra AD = AE. Vậy $\Delta ADE$ cân tại A.

Bài 10:

a) $\Delta OKA=\Delta OKB$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên KA = KB.

b) Từ câu a suy ra OA = OB  nên $\Delta OAB$ cân tại O.

c) $\Delta KAD=\Delta KBE$(cạnh góc vuông - góc nhọn kề) vì $\widehat{AKD}=\widehat{BKE}$ và KA = KB.

Suy ra KD = KE.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập Toán khác:

70 Bài tập về Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai. thứ ba của tam giác (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (có đáp án năm 2023)