100 Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai. thứ ba của tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán 7

Trường hợp bằng nhau thứ hai. thứ ba của tam giác

Kiến thức cần nhớ

A. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

1. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

– Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}$, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.g.c).

Ví dụ: Biết chỉ cần thêm một điều kiện thì hai tam giác trong mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Hãy nêu điều kiện đó tương ứng cho mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{\mathrm{GKH}}=\widehat{\mathrm{EKF}}$ (đối đỉnh) và KG = KF.

Để DKGH và DKEF bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về cạnh sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.

Mà $\widehat{\mathrm{GKH}}$ của DKGH xen giữa hai cạnh KG và KH;

$\widehat{\mathrm{EKF}}$ của DKEF xen giữa hai cạnh KE và KF.

Do đó điều kiện còn thiếu là KH = KE.

Vậy điều kiện cần thêm để DKGH = DKFE là KH = KE.

b) Ta có: BC = BD và AB là cạnh chung.

Để DABC và DABD bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về góc sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.

Mà góc xen giữa hai cạnh BC và BA của DABC là $\widehat{\mathrm{ABC}};$

Góc xen giữa hai cạnh BD và BA của DABD là $\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Do đó điều kiện còn thiếu là $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Vậy điều kiện cần thêm để DABC = DABD là $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC (AB < AC) có tia phân giác góc A cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh rằng:

a) DABD = DAED.

b) DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

Hướng dẫn giải

Xét DABD và DAED có:

AB = AE (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{EAD}}$ (do AD là tia phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

AD là cạnh chung.

Do đó DABD = DAED (c.g.c)

Vậy DABD = DAED (c.g.c).

b) Vì DABD = DAED (chứng minh phần a)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BDA}}=\widehat{\mathrm{EDA}}$ (hai góc tương ứng)

Do đó DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

Vậy DA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BDE}}.$

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°,$AB = A’B’, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AH ⊥ BC (H ∈ BC) và H là trung điểm của BC. Biết AB = 3 cm. Tính AC.

Hướng dẫn giải

Xét DABH và DACH có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{CHA}}=90°$ (giả thiết),

AH là cạnh chung,

BH = CH (giả thiết),

Do đó DABH = DACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) .

Mà AB = 3 cm nên AC = 3 cm.

Vậy độ dài cạnh AC là 3 cm.

3. Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=50°$bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ $\widehat{\mathrm{xAy}}=50°$

– Bước 2: Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3 cm, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 5 cm

– Bước 3: Vẽ đoạn thẳng BC. Ta được tam giác ABC.

B. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF có $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}},\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}},$ AB = ED. Biết $\widehat{\mathrm{C}}=42°,$ tính số đo góc F.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (giả thiết),

AB = ED (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DABC = DDEF (g.c.g).

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{F}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\mathrm{C}}=42°$ (giả thiết), do đó $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Chứng minh DAOB = DCOD.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (hai góc so le trong).

Xét DABO và DCDO có:

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (chứng minh trên),

AB = CD (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DAOB = DCOD (g.c.g).

Vậy DAOB = DCOD.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

2.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có tia phân giác AD của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (D ∈ BC) và AD ⊥ BC. Chứng minh AB = AC.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{ADC}}=90°$ (do AD ⊥ BC),

AD là cạnh chung,

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAD}}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

2.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét DOIM và DOIN có:

$\widehat{\mathrm{OMI}}=\widehat{\mathrm{ONI}}=90°,$

$\widehat{\mathrm{IOM}}=\widehat{\mathrm{ION}}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét DOAB và DOAC có:

$\widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OCA}}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó DABO = DACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BOA}}=\widehat{\mathrm{AOC}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

3. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=60°,\widehat{\mathrm{B}}=70°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{\mathrm{BAx}}=60°,\widehat{\mathrm{ABy}}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

Các dạng bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai. thứ ba của tam giác

Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau

Phương pháp giải:

+ Xét hai tam giác.

+ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc.

+ Kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác

Phương pháp giải:

+ Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.

+ Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo một trong hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc rồi suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau. Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc .

+ Kết hợp với các tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc trong một tam giác, ... để chứng minh một tính chất khác.

Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập Toán khác:

70 Bài tập về Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập Trường hợp bằng nhau thứ hai. thứ ba của tam giác (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (có đáp án năm 2023)