60 Bài tập về thể tích khối đa diện ( có đáp án năm 2024 ) - Toán 12

Thể tích khối đa diện

Kiến thức cơ bản

1. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1) = V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H) = V_(H1) + V_(H2).

Số dương V_(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

2. Thể tích của khối lăng trụ

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

3. Thể tích khối chóp

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: $V=\frac{1}{3}B.h$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết  SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AM$\perp$BC$\Rightarrow$SA$\perp$BC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] =$\widehat{SMA}={60}^0$

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $AM\text{\hspace{0.17em}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan60⁰ =$\frac{3a}{2}$

Vậy  V = $\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SA$$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SA$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Các dạng bài tập về thể tích khối đa diện

(Xem thêm trong file pdf)

Dạng 1 Biết chiều cao và diện tích đáy

Dạng 2 Thể tích khối lăng trụ đứng

Dạng 3 Thể tích khối lăng trụ xiên

Bài tập có hướng dẫn

1. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình chiếu của S lên đáy trùng với trung điểm của AB. Tính thể tích V của hình chóp đã cho, biết rằng AB = a, BC = a$\sqrt{6}$ , khoảng cách từ A đến mặt (SCD) bằng $\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Lời giải:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SCD là tam giác đều và (SCD) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải:

Lời giải:

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E, F tương ứng là trung điểm các cạnh A’A, C’C. Mặt phẳng (D’EF) chia hình hộp thành hai hình đa diện. Gọi (H) là hình đa diện chứa đỉnh A, (H’) là hình đa diện còn lại. Tính tỉ số k giữa thể tích hình (H) và thể tích hình (H’).

Lời giải:

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích V của hình chóp S.ABC.

Lời giải:

Câu 7: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là:

Lời giải:

Câu 8: Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp đó bằng?

Lời giải:

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau: BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính thể tích khối chóp C.BDNM

Lời giải:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng?

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết BA = BC = 2a, và (A’BC) hợp với đáy một góc 30°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Khi đó:

Bài 2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3.

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’ là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ⇒ AA' ⊥ (ABC) và ∆ABC đều.

Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC đều cạnh a nên:

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a và đường chéo B’D của lăng trụ hợp với đáy (ABCD) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

BB' ⊥ (ABCD) nên BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD)

Do B’D hợp với đáy ABCD một góc 30º nên ta có:

Xét tam giác B’BD vuông tại B có:

Bài 5: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A'A ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2, A’C tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2

⇒ AB=AC=BC/√2=a

AA' ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC)

⇒ (A' C;(ABC))= ∠(A'CA)=60°

Xét tam giác A’AC vuông tại A có:

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30° và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên A'A ⊥ (ABC),

Giả sử ∆ABC đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC;AM=(a√3)/2

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 8: Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a nên S_{(A' BC)} = (a² √3)/4

Khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a nên chiều cao

AA’ = a

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ∠(ACB)=120º và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Kẻ CP ⊥ AB (P ∈ (AB).

Ta có:

⇒ Hình chiếu vuông góc của CA’ trên mặt phẳng (ABB’A’) là CP

Mà

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có:

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về khối đa diện lồi và khối đa diện đều ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về mặt cầu (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập khái niệm về mặt tròn xoay (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phương trình mặt phẳng (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian (có đáp án năm 2023)