50 Bài tập về ước chung, ước chung lớn nhất (có đáp án năm 2024) - Toán 6

Ước chung, ước chung lớn nhất

Kiến thức cần nhớ

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu:

ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.

ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Ví dụ 1.

a) Tìm ước chung của 24 và 60.

b) Tìm ƯCLN (24; 60).

Lời giải

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

a) ƯC(24; 30) = {1; 2; 3; 6}

b) ƯCLN(24; 30) = 6.

Nhận xét:

- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Nếu a $⋮$ b thì Ư CLN(a, b) = b.

- Số 1 chỉ có 1 ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

Ví dụ 2.

a) Tìm ƯCLN(180, 18)

Vì 180 $⋮$ 18 nên ƯCLN(180, 18) = 18.

b) Tìm ƯCLN(13, 1)

Ta có: ƯCLN(13, 1) = 1.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 3. Cách tìm ƯCLN(140, 168)

Ta có: 140 = 2².5.7;  168 = 2³.3.7.

Các thừa số chung: 2, 7.

Vậy ƯCLN(140, 168) = 2².7 = 4.7 = 28.

3. Rút gọn về phân số tối giản

Vận dụng ƯCLN để rút gọn về phân số tối giản

Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có).

Phân số $\frac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.

Ví dụ 4. Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản

a) $\frac{12}{46}$;                            b) $\frac{35}{45}$;                            c) $\frac{102}{54}$.

Lời giải

a) ƯCLN(12, 46) = 2.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 12 và 46, ta được:

$\frac{12}{46}=\frac{12:2}{46:2}=\frac{6}{23}$;

b) ƯCLN(35,45) = 5.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 35 và 45, ta được:

$\frac{35}{45}=\frac{35:5}{45:5}=\frac{7}{9}$;

c) ƯCLN(102, 54) = 6.

Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của 102 và 54, ta được:

$\frac{102}{54}=\frac{102:6}{54:6}=\frac{17}{9}.$

Các dạng bài tập về ước chung, ước chung lớn nhất

Dạng 1. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC SỐ CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

Thực hiện quy tắc “ba bước” để tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ 1.

Tìm ƯCLN của :

a) 56 và 140 ;                         b)24, 84, 180   ;

c) 60 và 180 ;                         d) 15 và 19.

Giải

a) 56 = 2³.7 ; 140 = 2² .5.7.

ƯCLN(56,140) = 2².7 = 28 .

Đáp số : b) 12 ; c) 60 ; d) 1.

Ví dụ 2. 

Tìm ƯCLN của :

a) 16, 80, 176;                           b) 18, 30, 77.

Đáp số

a) 16 ;                         b) 1

Ví dụ 3.

Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của :

a) 16 và 24 ;                    b) 180 và 234 ;                    c) 60, 90 và 135.

Giải

16 = 2⁴ ; 24 = 2³.3 ;

ƯCLN(16,24) = 2³ = 8.

Các ước chung của 16 và 24 chính là các ước của 8. Đó là 1 ; 2 ; 4 và 8.

Đáp số :

ƯCLN(180 , 234) = 18. Các ước chung là 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18.

ƯCLN(60 , 90 , 135) = 15. Các ước chung là : 1 , 3 , 5 , 15.

Dạng 2. BÀI TOÁN ĐƯA VỀ VIỆC TÌM ƯCLN CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ

Phương pháp giải

Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ 4. 

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 chia hết cho  a và 700 chia hết cho  a.

Giải

Theo đề bài a phải là ƯCLN của 420 và 700.

ƯCLN(420, 700) = 140.

Vậy a = 140.

Ví dụ 5. 

Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành

các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh

nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự

nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét).

Giải

Để tấm bìa được cắt hết thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh

của hình vuông phải là ước chung của 75 và 105. Do đó độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông

(tính bằng cm) là ƯCLN (75,105), tức là 15 cm.

Ví dụ 6. 

Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ

đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam

được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy.

Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ ?

Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?

Đáp số

Số tổ nhiều nhất là ƯCLN (48,72) = 24. Khi đó mỗi tổ có 2 năm, 3 nữ.

Dạng 3. TÌM CÁC ƯỚC CHUNG CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ THỎA MÃN ĐIỀU

KIỆN CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

– Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước ;

– Tìm các ước của ƯCLN này ;

– Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ 7. 

Tìm các ước chung lớn hon 20 của 144 và 192 .

Giải

ƯCLN (144 ,192) = 48.

Ư(48) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}.

Các ước của 48 lớn hon 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hon 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

Ví dụ 8. 

Tìm số tự nhiên x, biết rằng 112 chia hết cho x , 140 chia hết cho x  và 10 < x < 20.

Hướng dẫn

x  ∈  ƯC(12 ,140) và 10 < x < 20. ƯCLN(112 , 140) = 28.

Đáp số: x = 14.

Ví dụ 9 . 

Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua 28 bút, Lan mua 36

bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2.

a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2.

b) Tìm số a nói trên.

c) Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu ? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu ?

Trả lời

a) a là ước của 28, a là ước của 36, a > 2.

b) a  ∈ ƯC(28 , 36) và a > 2. Từ đó tìm được a = 4.0

c) Mai mua 7 hộp bút, Lan mua 9 hộp bút.

Ví dụ 10. 

Có hai số nguyên tố cùng nhau mà cả hai đều là hợp số không ?

Trả lời

Có, chẳng hạn 8 và 9.

Bài tập (có đáp án)

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tập hợp ước chung của:

a) 30 và 45;

b) 42 và 70.

Lời giải:

a) Phân tích các số 30 và 45 ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5;           45 = 3².5

+) Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 3 và 5.

+) Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1. Khi đó:

 ƯCLN(30, 45) = 3.5 = 15. Ta được ƯC(30; 45) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Vậy ƯC(30; 45) = {1; 3; 5; 15}.

b) Phân tích các số 42 và 70 ra thừa số nguyên tố:

42 = 2.3.7;           70 = 2.5.7;

+) Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 2 và 7.

+) Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1. Khi đó:

 ƯCLN(42, 70) = 2.7 = 14. Ta được ƯC(42; 70) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

Vậy ƯC(42; 70) = {1; 2; 7; 14}.

Bài 2: Tìm ƯCLN của hai số:

a) 40 và 70;

b) 55 và 77.

Lời giải:

a) Phân tích các số 40 và 70 ra thừa số nguyên tố ta được:

40 = 2³.5;                             70 = 2.5.7

Ta thấy 2 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của 40 và 70. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên ƯCLN(40, 70) = 2. 5 = 10

Vậy ƯCLN(40, 70) = 10.

b) Phân tích các số 55 và 77 ra thừa số nguyên tố ta được:

55 = 5. 11;                              77 = 7. 11                          

Ta thấy 11 thừa số nguyên tố chung của 55 và 77. Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1 nên ƯCLN(55, 77) = 11

Vậy ƯCLN(40, 70) = 11.

Bài 3: Tìm ƯCLN của:

a) 2².5 và 2. 3. 5;

b) 2⁴.3; 2².3².5 và 2⁴.11

Lời giải:

a) 2².5 và 2. 3. 5

Ta thấy 2 và 5 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1 và số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên

ƯCLN cần tìm là 2.5 = 10.

b) 2⁴.3; 2².3².5  và 2⁴.11

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 nên
ƯCLN cần tìm là 2² = 4

Bài 4: Cho hai số a = 72 và b = 96

a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố;

b) Tìm ƯCLN(a, b), rồi tìm ƯC(a, b).

Lời giải:

a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố

Ta có:

 Do đó: a = 72 = 2³.3².

Lại có:

 Vậy  b = 96 = 2⁵.3.

b) Ta thấy 2 và 3 là các thừa số chung của 70 và 96. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3 và số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên

ƯCLN(72; 96) = 2³ . 3 = 24

ƯC(a, b) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Bài 5: Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản?

a)   ;                     b)  .

Lời giải:

a) Ta có:

50 = 2.5²;           85 = 5.17

+) Thừa số nguyên tố chung là 5 với số mũ nhỏ nhất là 1 nên ƯCLN(50, 85) = 5.  

Do đó  không là phân số tối giản.

 . Ta được  là phân số tối giản vì ƯCLN(10, 17) = 1.

b) Ta có:

23 = 23;           81 = 3⁴

Nên 23 và 81 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(23, 81) = 1.  

Do đó  là phân số tối giản.

Bài 6: Hãy cho hai ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là hợp số.

Lời giải:

Có nhiều ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là hợp số, chẳng hạn ta có hai ví dụ sau:

+) 6 và 35

Vì 6 = 2.3; 35 = 5.7. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 6 chia hết cho 2 nên 6 là hợp số; 35 chia hết cho 5 nên 35 là hợp số.

+) 10 và 27

Vì 10 = 2.5; 27 = 3³. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 10 chia hết cho 2 nên 10 là hợp số; 27 chia hết cho 3 nên 27 là hợp số.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dàn bài tập Toán khác:

50 Bài tập về bội chung. bội chung nhỏ nhất (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập về số nguyên tố (có đáp án năm 2024)

50 Bài tập về dấu hiệu chia hết (có đáp án năm 2024)

50 Bài tập về bài tập cuối chương 1 (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập về thứ tự thực hiện các phép tính (có đáp án năm 2024)