Bài tập về các công thức liên quan đến xác suất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

a) Công thức cộng xác suất

- Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

- Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ...∪ A_K ) = P(A₁) + P(A₂) +... + P(A_K) 

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: 

- Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

b) Công thức nhân xác suất

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A). P(B)

- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁,A₂,A₃,...,A_k là độc lập thì 

P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩...∩ A_K ) = P(A₁).P(A₂).P(A₃)...P(A_K)

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và  độc lập, B và  độc lập,  và  độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính xác suất của biến cố xung khắc, biến cố đối

Phương pháp giải:

+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối.

- Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |Ω|

- Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố 

- Tính số phần tử tập mô tả biến cố và tính xác suất 

- Xác suất biến cố A là P(A) = 1 − P(). 

+ Tính biến cố xung khắc:

- Xác định biến cố xung khắc

- Tính biến cố xung khắc theo công thức cộng xác suất. 

Dạng 2: Tính xác suất sử dụng công thức cộng và nhân

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một hộp gồm 20 viên bi, trong đó có 12 viên bi xanh, 8 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để:

a) Lấy được ít nhất một viên bi màu vàng

b) Lấy được đủ 2 màu.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một viên màu vàng”

Thì là biến cố: “Không lấy được màu vàng”

Số cách lấy 3 viên bi không có màu vàng là: 

Xác suất để lấy được ít nhất một viên màu vàng là: .

b) Gọi B là biến cố: “Lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng”

C là biến cố: “Lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng”

Khi đó B ∪ C là biến cố: “Lấy được 3 viên đủ 2 màu”

Ta thấy B và C là hai biến cố xung khắc. P( B ∪ C) = P(B) + P(C)

Số cách lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng: 

Số cách lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng: 

Xác suất để lấy được đủ 2 màu là: 

Ví dụ 2. Trong một hộp có 20 thẻ, được đánh số thứ tự từ 1 đến 20. Tính xác suất để chọn ra được 2 thẻ sao cho

a) Tổng hai số trên thẻ là một số lẻ

b) Tích hai số trên thẻ là một số chẵn.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 

a) Gọi A là biến cố: “Tổng hai số trên thẻ là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tổng hai số trên thẻ là số lẻ, tức là chọn được 1 số lẻ và 1 số chẵn: 

Xác suất để tổng hai số trên thẻ là số lẻ: 

b) Gọi B là biến cố: “Tích hai số trên thẻ là số chẵn”

Khi đó là biến cố: “Tích hai số trên là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tích hai số là số lẻ, tức là chọn được cả hai thẻ đều là lẻ: 

Xác suất để chọn sao cho tích hai số trên thẻ là số chẵn: .

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gieo một con súc sắc 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để

a) Xuất hiện mặt 6 chấm trong cả ba lần

b) Xuất hiện các mặt có số chấm giống nhau

c) Xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần

Lời giải

a) Xác suất để 1 lần súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là  

Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt 6 chấm là:  

b) Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt có số chấm giống nhau:

 (dựa vào câu a)

c) Xác suất để 1 lần súc sắc không xuất hiện mặt 3 chấm là 

Xác suất để 3 lần liên tiếp không xuất hiện mặt 3 chấm là: 

Xác suất để xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần là: 

Câu 2. Một cuộc thi bắn súng, có 3 người tham gia thi. Trong đó xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9; người thứ 2 là 0,7 và người thứ 3 là 0,8. Tính xác xuất để:

a) Cả ba người đều bắn trúng

b) Đúng 2 người bắn trúng

c) Không người nào bắn trúng

d) Ít nhất một người bắn trúng.

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8

A, B, C là ba biến cố độc lập

Khi đó:

 là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; P() = 1 − 0,9 = 0,1

 là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P( ) = 1 − 0,7 = 0,3

 là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; P(  ) = 1 − 0,8 = 0,2

a) A ∩ B ∩ C là biến cố: “Cả ba người bắn trúng”

Xác suất để cả ba người bắn trúng là: 

P(A ∩ B ∩ C) = 0,9.0,7.0.8 = 0,504.

b) Gọi D là biến cố: “Đúng hai người bắn trúng”

Ta có: 

Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là:

P(D) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 + 0,1.0,7.0,8 = 0,398.

c) là biến cố: “Không người nào người bắn trúng”

Xác suất để không người nào người bắn trúng là:

d) là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng”

Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: P() = 1 − P(E) = 1 − 0,006 = 0,994 .

Bài 3: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: " 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng"

B: " 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ"

C: " 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu"

Lời giải

1.

2. Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là:

Suy ra: n(Ω)=4095

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là:

Suy ra :

Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:

Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:

Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:

Suy ra n(C)=5859

Câu 4: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi A_k là các biến cố " xạ thủ bắn trúng lần thứ k" với k = 1,2,3,4. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A₁, A₂, A₃, A₄

A: "Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’

B: "Bắn trúng bia ít nhất một lần’’

C: " Chỉ bắn trúng bia hai lần’’

Lời giải

Ta có: Giả sử  là biến cố lần thứ k (k = 1,2,3,4) bắn không trúng bia.

Do đó:

với i,k,k,m ∈ {1,2,3,4} và đôi một khác nhau.

 5: Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:

A: "Rút ra được tứ quý K ‘’

B: "4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át"

C: "4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’

Lời giải

Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là:

Suy ra n(Ω ) = 270725

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có n(A)=1

Vậy P(A) = 1 /270725

Vì có  cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào

Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn 2 là:

Câu 6: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:

1. 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

2. 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.

Lời giải

Gọi biến cố A :" 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ"

B : "3 viên bi lấy ra có không quá hai màu"

Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là:

1. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là:

Do đó:

2. Ta có:

Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu:

Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:

Do đó: |Ω_B | = 860. Vậy:

Câu 7: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần.Tính xác suất của biến cố A: “kết quả của 3 lần gieo là như nhau”

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Số phần tử của không gian mẫu là:

Lần đầu có thể ra tùy ý nên có 2 khả năng xảy ra.

Lần 2 và 3 phải giống lần 1 nên lần 2 và 3 chỉ có 1 khả năng.

Khi đó n(A)=2.1.1=2

Xác suất của biến cố A là n(A)=2/8=1/4

Câu 8: Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

A.31/32    B.21/32    C.11/32    D.1/32

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Phép thử : Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất.

Ta có n(Ω)=2⁵=32.

Biến cố A : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

Biến cố đối A tất cả đều là mặt ngửa

Câu 9: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”.

A.P(A)=1/2    B.P(A)=3/8    C.P(A)=7/8    D.P(A)=1/4

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Số phần tử của không gian mẫu là: 2³=8

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

Ω_A = { SSN; SNS: NSS}

⇒ n(A)= 3

Do đó; xác suất của biến cố A là: P(A)= 3/8

Câu 10. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau. $P\left(A\right)=0,4,P\left(B\right)=0,3$. Khi đó $P\left(AB\right)$ bằng
A. 0,58 .
B. 0,7 .
C. 0,1 .
D. 0,12 .

Lời giải

Chọn D

Do $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,4\cdot 0,3=0,12$.

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

50 Bài tập về Xác định biến cố và tính xác suất của biến cố (2024) mới nhất có đáp án 

Trọn bộ công thức tính xác suất (2024) chi tiết và hay nhất 

30 Bài tập về bài toán tính xác suất liên quan đến hình học (2024) cực hay, có lời giải 

Cách bấm chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất trên máy tính cầm tay và bài tập vận dụng (2024) mới nhất 

175 Bài tập về xác suất của biến cố (có đáp án năm 2023) - Toán 11