Lý thuyết Toán 11 Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

I. Lý thuyết

1. Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng là một đối tượng của toán học. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

• Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

• Để kí hiệu mặt phẳng, ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp trong dấu ngoặc để kí hiệu mặt phẳng.

1.1. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm A và mặt phẳng (P).

• Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A.

Kí hiệu: A $\in$ (P)

• Nếu điểm A không thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A.

Kí hiệu: A $\notin$ (P)

1.2. Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng

Để biểu diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, …), ta thường dựa vào các quy tắc sau:

• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

• Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.

• Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.

• Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị các mặt phẳng che khuất bằng nét đứt đoạn.

2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là (ABC)

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là d $\subset$ (P) hoặc (P) $\supset$ d.

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Chú ý: Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Chú ý: Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và Q).

 Kí hiệu: d = (P) $\cap$ (Q)

Tính chất 6: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.

3. Cách xác định mặt phẳng

• Một mặt phẳng được xác đinh nếu biết nó chứ ba điểm không thẳng hàng.

Kí hiệu: mp(ABC) hay (ABC)

• Một mặt phẳng được xác định nếu nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

Kí hiệu: mp(a, b)

4. Hình chóp và hình tứ diện

4.1. Hình chóp

Cho đa giác lồi A₁A₂…A_n nằm trong mặt phẳng ($\alpha$) và điểm S không thuộc mặt phẳng ($\alpha$).

Nối S với các đỉnh A₁, A₂…, A_n ta được n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …SA_nA₁.

Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A₁A₂…A_n được gọi là hình chóp.

Kí hiệu: S.A₁A₂…A_n

• Trong hình chóp S.A₁A₂…A_n, ta gọi:

− Điểm S là đỉnh

− Các tam giác SA₁A₂, SA₂A₃, …SA_nA₁ là các mặt bên

− Đa giác A₁A₂…A_n là mặt đáy

− Các đoạn thẳng giác SA₁, SA₂, …SA_n là các cạnh đáy

• Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác.

4.2. Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện).

Kí hiệu: ABCD

• Trong tứ diện ABCD, ta gọi:

−  Các điểm A, B, C, D là đỉnh

− Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, BD là các cạnh của tứ diện

− Hai cạnh không đi qua cùng một đỉnh là hai cạnh đối diện

− Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD là các mặt của tứ diện

− Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó

Chú ý:

• Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.

• Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tùy ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

- Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.

Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có 3 khả năng xảy ra:

• Nếu a và b có hai điểm chung thì ta nói a trùng b.

Kí hiệu: a $\equiv$ b

• Nếu a và b có một điểm chung duy nhất M thì ta nói a và b cắt nhau tại M.

Kí hiệu: a $\cap$ b = M

• Nếu a và b không có điểm chung thì ta nói a và b song song với nhau.

Kí hiệu: a // b

- Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.

Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Chú ý:

• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

• Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: mp(a, b)

6. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tại ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thằng c thì ta có thể kí hiệu là a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

7. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a và (P) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên, suy ra mọi điểm thuộc a đều thuộc (P), ta nói a nằm trong (P).

Kí hiệu: a $\subset$ (P)

• Trường hợp 2: a và (P) có một điểm chung duy nhất A, ta nói a cắt (P) tại a.

Kí hiệu: a $\cap$ (P) = A

• Trường hợp 3: a và (P) không có điểm chung nào, ta nói a song song với (P).

Kí hiệu: a // (P)

Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

8. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

9. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b thì a song song với b.

Hệ quả 1: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ được đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

10. Hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), có thể xảy ra một trong ba trường hợp:

• Trường hợp 1: (P) và (Q) có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau.

Kí hiệu: (P) = (Q)

• Trường hợp 2: (P) và (Q) phân biệt và có một điểm chung, ta nói (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d đi qua điểm chung.

Kí hiệu: (P) $\cap$ (Q) = d

• Trường hợp 3: (P) và (Q) không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là (P) $\cap$ (Q) = $\varnothing$, ta nói (P) và (Q) song song.

Kí hiệu: (P) // (Q) hoặc (Q) // (P)

11. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Chú ý: Chẳng hạn nếu A, B, C không thẳng hàng và AB // MN và AC // MP thì (ABC) // (MNP).

12. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Định lí 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R) cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

13. Định lí Thalès trong không gian

Định lí 4 (Định lí Thalès): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

14. Hình lăng trụ và hình hộp

14.1. Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng (P) và (P') song song với nhau. Trên (P) cho đa giác lồi A₁A₂…A_n. Qua các đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P') lần lượt tại ${A_1}^{\text{'}},{A_2}^{\text{'}},\mathrm{...},{A_n}^{\text{'}}$ .Hình tạo bởi các hình bình hành $A_1{A}_2{A_2}^{\text{'}}{A_1}^{\text{'}},\mathrm{...},A_n{A}_1{A_1}^{\text{'}}{A_n}^{\text{'}}$  và hai đa giác $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n,{A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{...}{A_n}^{\text{'}}$  gọi là hình lăng trụ.

Kí hiệu: $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n.{A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{...}{A_n}^{\text{'}}$

Trong hình lăng trụ $A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_n.{A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{...}{A_n}^{\text{'}}$ , ta gọi:

- Hai đa giác A₁A₂…A_n và ${A_1}^{\text{'}}{A_2}^{\text{'}}\mathrm{...}{A_n}^{\text{'}}$  gọi là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song;

- Các điểm A₁, A₂, …, A_n, ${A_1}^{\text{'}},{A_2}^{\text{'}},\mathrm{...},{A_n}^{\text{'}}$  là các đỉnh;

- Các hình bình hành $A_1{A}_2{A_2}^{\text{'}}{A_1}^{\text{'}},\mathrm{...},A_n{A}_1{A_1}^{\text{'}}{A_n}^{\text{'}}$  được gọi là các mặt bên;

- Các đoạn thẳng $A_1{A_1}^{\text{'}},A_2{A_2}^{\text{'}},\mathrm{...},A_n{A_n}^{\text{'}}$  gọi là các cạnh bên. Các cạnh bên song song và bằng nhau;

- Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau.

Chú ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … tương ứng được gọi là hình lăng tụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng tru ngũ giác.

14.2. Hình hộp

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Trong một hình hộp ta có:

- Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện;

- Hai đỉnh không cùng nằm trên một đường thẳng gọi là hai đỉnh đối diện;

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo;

- Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

15. Khái niệm phép chiếu song song

Phép chiếu song song thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng.

Trong không gian, cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại M'. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' trong (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.

• Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song;

• Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l;

• Điểm M' gọi là ảnh của điểm M theo phép chiếu theo phương l.

16. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song

Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.

Tính chất 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Tính chất 3:

• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

17. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình ℋ trong không gian là hình chiếu song song của ℋ trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Chú ý: Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như:

a) Nếu trên hình ℋ có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình ℋ.

b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì

• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.

• Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.

• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.

II. Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 4

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAC) và (MBD).

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Từ đó ta có O $\in$AC $\subset$ (SAC) và O $\in$ BD $\subset$ (SBD)

Suy ra: O $\in$ (SAC) $\cap$ (SBD)

Lại có: S $\in$ (SAC) $\cap$ (SBD)

Vì vậy SO = (SAC) $\cap$ (SBD).

b) O là giao điểm của AC và BD.

Từ đó ta có O $\in$ AC $\subset$ (SAC) và O $\in$ BD $\subset$ (MBD)

Suy ra: O $\in$ (SAC) $\cap$ (MBD)

Lại có: M $\in$ SA $\subset$ (SAC) và M $\in$ (MBD) nên suy ra M $\in$ (SAC) $\cap$ (MBD)

Do đó MO = (SAC) $\cap$ (MBD).

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SA, N trên AB. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (CMN).

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của CN và BD; J là giao điểm của CM và SO.

Ta có: I $\in$ BD $\subset$ (SBD) và J $\in$ SO $\subset$ (SBD)

Suy ra IJ $\subset$ (SBD) (1)

Lại có: I $\in$ CN $\subset$ (CMN) và J $\in$ CM $\subset$ (CMN)

Suy ra IJ $\subset$ (CMN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ = (CMN) $\cap$ (SBD)

Gọi K là giao điểm của IJ và SD

Khi đó K là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (CMN).

Bài 3. Cho tứ diện S.ABC. Trên SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P sao cho MN cắt AB tại E, NP cắt BC tại F, PM cắt CA tại G. Chứng minh E, F, G thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có:

E = MN $\cap$ AB mà MN $\subset$ (MNP) $\Rightarrow$ E $\in$ (MNP)

Lại có:

E = MN $\cap$ AB mà AB $\subset$ (ABC) $\Rightarrow$ E $\in$(ABC)

Tương tự ta có:

F = NP $\cap$ BC $\Rightarrow$ F $\in$ (MNP) và F $\in$ (ABC)

G = PM $\cap$ CA $\Rightarrow$ G $\in$ (MNP) và G $\in$ (ABC)

Do đó E, F, G là các điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) nên chũng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Vậy E, F, G thẳng hàng.

Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là một tứ diện đều nên bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc mặt phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Từ đó suy ra hai đường thẳng AB và CD không đồng phẳng.

Vậy AB và CD chéo nhau.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Gọi a là giao tuyến của (SAB) và (SCD); b là giao tuyến của (SAB) và (MCD). Chứng minh: a // b.

Hướng dẫn giải

Ta có: S $\in$ (SAB) $\cap$ (SCD)

AB $\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (SCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (SCD) = a, với a // AB // CD (1)

Lại có: M $\in$ (SAB) $\cap$ (MCD)

AB$\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (MCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (MCD) = b, với b // AB // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra a // b (Cùng song song với AB và CD).

Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên BD lấy điểm E bất kì. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F. Tứ giác MNFE là hình gì?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD

Do đó MN // BD

Lại có theo bài ra: EF // BD

Vậy suy ra MN // EF (cùng song song với cạnh BD)

Khi đó tứ giác MNFE là hình thang.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua M, song song với BD và SA.

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ ME song song với BD, với E thuộc AD

Gọi O và I lần lượt là giao điểm của AC với BD và ME

Qua M kẻ MF song song với AS, với F thuộc SB

Qua E kẻ EG song song với AS, với G thuộc SD

Qua I kẻ IH song song với AS, với H thuộc SC

Khi đó ngũ giác MEGHF là thiết diện cần tìm.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng GF // (ABC) và GF // (ABD)

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của cạnh CD

G là trọng tâm của tam giác ACD nên ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$  (1)

Lại có F là trọng tâm của tam giác BCD nên suy ra $\frac{BF}{BM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MF}{MB}=\frac{1}{3}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}\left(=\frac{1}{3}\right)$

Xét tam giác MBA có $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}$   nên theo định lí Ta-lét đảo ta có GF // AB

Mà AB $\subset$ (ABC) nên suy ra GF // (ABC)

Tương tự AB $\subset$ (ABD) nên suy ra GF // (ABD).

Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}$ . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // (BCD). Tính tỉ số $\frac{NC}{AN}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4}$

Do MN // (BCD) mà MN $\subset$ (ABC)

Và với BC = (BCD) $\cap$ (ABC) nên suy ra MN // BC

Xét tam giác ABC có MN // BC nên theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{NC}{AN}=3.$

Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều. Gọi I, J, K, L lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA.

a) Chứng minh (IJKL) // (ABCD);

b) Giả sử ABCD có cạnh là a. Tính diện tích tứ giác IJKL.

Hướng dẫn giải

a) Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA

Với I, J, K, L lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA nên ta có $\frac{SI}{SE}=\frac{SJ}{SF}=\frac{SK}{SG}=\frac{SL}{SH}=\frac{2}{3}$

 

Xét tam giác SEF có $\frac{SI}{SE}=\frac{SJ}{SF}$  nên suy ra IJ // EF

Mà EF $\subset$ (EFGH) $\Rightarrow$ IJ // (EFGH) (1)

Xét tam giác SEH có $\frac{SI}{SE}=\frac{SJ}{SF}$  nên suy ra IL // EH

Mà EH $\subset$ (EFGH) $\Rightarrow$ IL // (EFGH) (2)

Lại có IJ $\subset$ (IJKL) và IL $\subset$ (IJKL) (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra (IJKL) // (EFGH)

Mà (EFGH) $\subset$ (ABCD)

Do đó (IJKL) // (ABCD)

b) Với ABCD là hình vuông có cạnh là a thì diện tích hình vuông EFGH là $S_{EFGH}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$

 

Xét hình chóp S.EFGH có (IJKL) // (EFGH) và $\frac{SI}{SE}=\frac{SJ}{SF}=\frac{SK}{SG}=\frac{SL}{SH}=\frac{2}{3}$  nên suy ra 

$\Rightarrow S_{IJKL}=\frac{4}{9}{S}_{EFGH}=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{2}{9}{a}^2$

Bài 11. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', ACC'. Chứng minh (MNP) // (BB'C'C).

Hướng dẫn giải

a) Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, B'C' và CC'

Khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra $\frac{AM}{AE}=\frac{2}{3}$

Tương tự, N và P lần lượt là trọng tâm của hai tam giác A'B'C' và tam giác ACC' nên ta có $\frac{A\text{'}N}{A\text{'}F}=\frac{2}{3};\frac{AP}{AG}=\frac{2}{3}$

Do $\frac{AM}{AE}=\frac{A\text{'}N}{A\text{'}F}=\frac{2}{3}$  nên suy ra AA' // MN // EF

Mà EF $\subset$ (BCC'B') nên suy ra MN // (BCC'B') (1)

Ta có CC' // AA' $\Rightarrow$ CG // AA'

Theo định lí Thalès thì $\frac{A\text{'}P}{PC}=\frac{AP}{PG}=2\Rightarrow \frac{A\text{'}P}{A\text{'}C}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{A\text{'}P}{A\text{'}C}=\frac{A\text{'}N}{A\text{'}F}$

Do đó áp dung định lí Thalès đảo vào tam giác A'FC thì PN // CF

Mà CF $\subset$ (BCC'B') nên suy ra PN // (BCC'B') (2)

Lại có MN $\subset$ (MNP) và PN $\subset$(MNP) (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra (MPN) // (BCC'B').

Bài 12. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông. Mặt phẳng đi qua A' cắt các cạnh BB', CC', DD' lần lượt là M, N, P. Tứ giác A'MNP là hình gì?

Hướng dẫn giải

Lấy M và P là một điểm thuộc BB' và DD'

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'

Do đó OO' $\subset$ (BDD'B') và OO' $\subset$ (ACC'A')

Gọi E là giao điểm của MP và OO' nên suy ra E $\in$ (ACC'A')

Do A'E $\subset$ (ACC'A') và A'E $\subset$ (A'MP) thì lấy N là giao điểm của A'E và CC'

Do đó A'N Ì (A'MP) và M, N, P là các điểm cần tìm

Khi đó A', M, N, P đồng phẳng

Với (AA'D'D) và (BCC'B') là hai mặt phẳng song song

Mặt phẳng (A'MNP) cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến là A'P và MN

Nên suy ra A'P // MN (1)

Tương tự với (AA'B'B) và (DCC'D') là hai mặt phẳng song song

Mặt phẳng (A'MNP) cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến là A'M và PN

Nên suy ra A'M // PN (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra tứ giác A'MNP là hình bình hành.

Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Lấy điểm G là trong tâm của tam giác ABC. Phép chiếu song song AA' lên mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm G thành G'. Xác định vị trí điểm G'.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M là trung điểm của cạnh AC

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ

Do đó qua phép chiếu song song AA' lên mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm B thành B' và điểm M thành M'

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra ba điểm B, G, M thẳng hàng và $\frac{BG}{BM}=\frac{2}{3}$

Khi đó ba điểm B', G', M' thẳng hàng và $\frac{B\text{'}G\text{'}}{B\text{'}M\text{'}}=\frac{2}{3}$

Mà M là trung điểm của AC nên M' là trung điểm của A'C'

Vậy G' là trong tâm của tam giác A'B'C'.

Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AB'.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AD = A'D' = B'C' và AD // A'D' // B'C'

Do đó tứ giác ADC'B' là hình bình hành

Suy ra AB' // DC'

Khi đó, hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AB' là điểm C'.

Bài 15. Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ có đáy là lục giác đều.

Hướng dẫn giải

Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' là hình có hai mặt đáy ABCDEF, A'B'C'D'E'F' là lục giác đều và được biểu diễn là hình lục giác; các mặt bên là các hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Phép chiếu song song

Lý thuyết Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5