Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo)

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

I. Lý thuyết

1. Trung vị

1.1. Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Gọi n là cỡ mẫu.

• Giả sử nhóm [u_m; u_{m + 1}) chứa trung vị.

• n_m là tần số của nhóm chứa trung vị.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{m – 1}.

Khi đó, ta có công thức xác định trung vị như sau:

1.2. Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

Ví dụ: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Gọi x₁; x₂;....; x₂₅ là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.

Do x₁ ∈ [150; 155); x₂,...., x₈ ∈ [155; 160); x₉,...., x₂₀ ∈ [160; 165) nên trung vị của mẫu số liệu x₁; x₂;....; x₂₅ là x₁₃ ∈ [160; 165).

Ta xác định được n = 25, n_m = 12, C = 1 + 7 = 8, u_m = 160, u_{m + 1} = 165.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_e=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}$.(165 - 160) = 161,875.

2. Tứ phân vị

2.1. Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₂, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₁, ta thực hiện như sau:

• Giả sử nhóm [u_m; u_{m + 1}) chứa tứ phân vị thứ nhất.

• n_m là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{m – 1}.

Khi đó,

- Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là Q₃, ta thực hiện như sau:

• Giả sử nhóm [u_j; u_{j + 1}) chứa tứ phân vị thứ ba.

• n j là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba.

• C = n₁ + n₂ + ... + n_{j – 1}.

Khi đó,

Chú ý:

• Nếu tứ phân vị thứ k là ($\frac{1}{2}\left(x_m+x_{m+1}\right),$ trong đó x_m và x_{m + 1} thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như x_m ∈ [u_{j – 1}; u_j) và x_{m + 1} ∈ [u_j; u_{j + 1}) thì ta lấy Q_k = u_j.

2.2. Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

- Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau. Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

- Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q₂) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn Q₂) của mẫu số liệu.

Ví dụ: Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Ta có: do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Gọi x₁; x₂;....; x₁₀₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁,...., x₁₇ ∈ [0,5; 2,5); x₁₈,...., x₅₀ ∈ [2,5; 4,5); x₅₁,...., x₇₅ ∈ [4,5; 6,5);

x₇₆,..., x₉₅ ∈ [6,5; 8,5); x₉₆,...., x₁₀₀ ∈ [8,5; 10,5).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{50}+x_{\mathrm{51)}}\right).$ Do x₅₀ ∈ [4,5; 6,5) và  x₅₁ ∈ [4,5; 6,5) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_2=4,5.$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{25}+x_{\mathrm{26)}}\right).$ Do x₂₅ và x₂₆ thuộc nhóm [2,5; 4,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_1=2,5+\frac{\frac{1.100}{4}-17}{33}$.(4,5 - 2,5) = $\frac{197}{66}\approx 2,98.$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x₁; x₂;....; x₁₀₀ là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{75}+x_{\mathrm{76)}}\right).$ Do x₇₅ ∈ [4,5; 6,5) và   x₇₆ ∈ [6,5; 8,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3=6,5.$

II. Bài tập Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Số trung bình của dãy số liệu xấp xỉ bằng:

(0,925.10 + 0,975.20 + 1,025.35 + 1,075.15 + 1,125.5) : 85 = 1,016

Vậy nhóm chứa mốt của dãy số liệu là nhóm [1,0; 1,05).

Mốt của mẫu số liệu trên là:

Gọi x₁; x₂; x₃;....; x₈₅ lần lượt là số viên pin theo thứ tự không giảm.

Do x₁,...., x₁₀ ∈ [0,9; 0,95); x₁₁,...., x₃₀ ∈ [0,95; 1,0); x₃₁,...., x₆₅ ∈ [1,0; 1,05);

x₆₆,...., x₈₀ ∈ [1,05; 1,1); x₈₁,...., x₈₅ ∈ [1,1; 1,15).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{42}+x_{43}\right)$) thuộc nhóm [1,0; 1,05) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_2=1,0+\frac{\frac{85}{2}-30}{35}$(1,05-1,0) = 1,02

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{21}+x_{22}\right)$) thuộc nhóm [0,95; 1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_1=0,95+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}$(1,0-0,95) = 0,98

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{63}+x_{64}\right)$) thuộc nhóm [1,0; 1,05) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3=1,0+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}$(1,05- 1,0) = 1,048.

Vậy trong mẫu số liệu trên, số trung bình là 1,016, mốt là 1,02, tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,98; 1,02; 1,048.

Bài 2. Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).

a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B.

Hướng dẫn giải

Cân nặng của lợn con giống A và giống B được thống kê như sau:

a) Số cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

(1,05.8 + 1,15.28 + 1,25.32 + 1,35.17) : 85 = 1,22 (kg)

Số cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

(1,05.13 + 1,15.14 + 1,25.24 + 1,35.14) : 65 = 1,21 (kg)

Vậy cân nặng trung bình của lợn con giống A lớn hơn lợn con giống B theo số trung bình.

Gọi x₁; x₂; x₃;....; x₈₅ lần lượt là số lợn con giống A theo thứ tự không giảm.

Do x₁,...., x₈ ∈ [1,0; 1,1); x₉,...., x₃₆ ∈ [1,1; 1,2); x₃₇,...., x₆₈ ∈ [1,2; 1,3);

x₆₉,...., x₈₅ ∈ [1,3; 1,4).

Trung vị của mẫu số liệu lợn con giống A thuộc nhóm [1,2; 1,3) là:

$M_A=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}$.(1,3 - 1,2) = 1,22

Gọi y₁; y₂; y₃;....; y₆₅ lần lượt là số lợn con giống B theo thứ tự không giảm.

Do y₁,...., y₁₃ ∈ [1,0; 1,1); y₁₄,...., y₂₇ ∈ [1,1; 1,2); y₂₈,...., y₅₁ ∈ [1,2; 1,3);

y₅₂,...., y₆₅ ∈ [1,3; 1,4).

Trung vị của mẫu số liệu lợn con giống B thuộc nhóm [1,2; 1,3) là:

$M_B=1,2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}$.(1,3 - 1,2) =1,223

 Vậy cân nặng trung bình của lợn con giống A nhỏ hơn lợn con giống B theo trung vị.

b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu giống A là$\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{21}+x_{22}\right)$) thuộc nhóm [1,1; 1,2) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1A}=1,1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}$(1,2 - 1,1) = 1,15

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu giống A là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(x}}_{63}+x_{64}\right)$) thuộc nhóm [1,2; 1,3) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3A}=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}$(1,3 - 1,2) = 1,29

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu giống B là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(y}}_{16}+y_{17}\right)$) thuộc nhóm [1,1; 1,2) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1B}=1,1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}$(1,2 - 1,1) = 1,12

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu giống B là $\frac{1}{2}\left({\mathrm{(y}}_{48}+y_{49}\right)$) thuộc nhóm [1,2; 1,3) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3B}=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}$(1,3 - 1,2) = 1,29

Vậy tứ phân vị thứ nhất của lợn con giống A và giống B lần lượt là 1,15 và 1,12;

Tứ phân vị thứ ba của lợn con giống A và giống B lần lượt là 1,29 và 1,29.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Phép chiếu song song

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 4

Lý thuyết Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5