Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

I. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

2. Phương trình $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m$

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m\iff \sin x=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

3. Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$

Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

4. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan \mathrm{x}=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

5. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot \mathrm{x}=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX 570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX 570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$

II. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) sin x + cos 2x = 0;

b) cos2x = – cos 5x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có sin x + cos 2x = 0

⇔ sin x + 1 – 2sin2 x = 0

⇔ – 2sin2 x + sin x + 1 = 0

⇔ 

+ Với sin x = 1 ta có: sinx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{(k}\in \mathbb{Z}\text{).}$

+ Với sin x = $-\frac{1}{2}$ , ta có: sin x = $-\frac{1}{2}$ 

Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{(k}\in \mathbb{Z}\text{).}$

b) Ta có cos2x = – cos 5x ⇔ cos2x = cos$\left(\pi -5x\right)$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) sin x = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) cot (2x – 3) = cot$\frac{\pi }{7}$ .

Hướng dẫn giải

a) sin x = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔ sinx = sin

b) cot (2x – 3) = cot$\frac{\pi }{7}$

⇔ 2x – 3 = $\frac{\pi }{7}$+k$\pi$

⇔ x = $\frac{\pi +21}{14}+k\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Công thức lượng giác

Lý thuyết Bài 3: Hàm số lượng giác

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

Lý thuyết Bài 5: Dãy số

Lý thuyết Bài 6: Cấp số cộng