Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số
l. Lý thuyết Dãy số
1. Định nghĩa dãy số
- Dãy số vô hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là .
Ta thường viết thay cho và kí hiệu dãy số bởi , do đó dãy số được viết dưới dạng khai triển
Số là số hạng đầu; là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
*Chú ý: Nếu thì được gọi là dãy số không đổi.
- Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là .
Số gọi là số hạng đầu, là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
+) Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
+) Công thức của số hạng tổng quát.
+) Phương pháp mô tả.
+) Phương pháp truy hồi.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có .
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có .
Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu số M sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu số m sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho .
ll. Bài tập Dãy số
Bài 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:
a) un = 3n – 1;
b) un = – 3n + 1.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: un+1 – un = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là un+1 > un
Suy ra đây là dãy số tăng.
b) Ta có: un+1 – un = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là un+1 < un.
Suy ra đây là dãy số giảm.
Bài 2: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) un = 2n – 1;
b) un = ;
c) un = cos n.
Hướng dẫn giải
a) un = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ*
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới.
b) Dãy số (un) bị chặn trên, vì , ∀n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) bị chặn dưới, vì , ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Bài 3: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức
= 50.
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
Hướng dẫn giải
a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:
= 50 = 50,2917 (triệu đồng).
Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:
= 50 = 50,585 (triệu đồng).
b) 1 năm = 12 tháng
Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:
= 50 = 53,6145 (triệu đồng).
Bài 4: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un) có số hạng tổng quát cho bởi:
a) un = 4n – 2;
b) un = 3 . 2n + 1.
Hướng dẫn giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.
Số hạng thứ 100 của dãy số là: u100 = 4.100 – 2 = 398.
b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.
Số hạng thứ 100 của dãy số là: u100 = 3 . 2100 + 1.
Bài 5: Dãy số (un) cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, un = n . un-1 với n ≥ 2.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un.
Hướng dẫn giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.
b) Ta thấy u1 =1!, u2 = 2!, u3 = 3!, u4 = 4!, u5 = 5!.
Vậy công thức số hạng tổng quát là un = n!.
Bài 6: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 2;
b) Khi chia cho 3 dư 1.
Hướng dẫn giải
a) un = 2n (∀n ∈ ℕ*).
b) un = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ*).
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2