15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Tính tổng của dãy số

Câu 1:

Tính tổng S = 1+3+5+...+2021

Ta có $2 S = (1 + 2021) + (3 + 2019) + (5 + 2017) + ... + (2021 + 1) = 2022.2021$ Vậy $S = \frac{2022.2021}{2} = 2043231.$

Câu 2:

Tính tổng $S = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99}$

Xem đáp án

Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}; \frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}; ...$

Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 - \frac{1}{99} = \frac{98}{99}$

Câu 3:

Cho tổng

S_{n} = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} .

Tính

S_{100}

Xem đáp án

Ta có $\frac{2.1}{1.2.3} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3}; \frac{2.1}{2.3.4} = \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4}; ...$

Suy ra $2 S_{n} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{2 (n + 1) (n + 2)}$

Vậy $S_{n} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} \Rightarrow S_{100} = \frac{2575}{10302} .$

Câu 4:

Cho $S_{n} = 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + (2 n - 1) .2 n$ . Tính $S_{100}$ biết rằng $\sum_{i = 1}^{n} 2 i = 2 + 4 + 6 + ...2 n = n (n + 1); \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Xem đáp án

Ta có

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} 2 i (2 i - 1) = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{2} - 2 i) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - \sum_{i = 1}^{n} 2 i \begin{array}{l} = \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{3} \\ \Rightarrow S_{100} = \frac{100. (100 + 1) (4.100 - 1)}{3} = 1343300 \end{array}$

Câu 5:

Cho tổng $S_{n} = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n (3 n + 1)$ với $n \in ℕ^{*}$ . Biết $S_{k} = 294$ và $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}; \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Tính giá trị của k.

Xem đáp án

Ta có

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i (3 i + 1) = \sum_{i = 1}^{n} (3 i^{2} + 1) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i$

$\begin{array}{l} = \frac{3 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} = n {(n + 1)}^{2} \\ \Rightarrow S_{k} = k {(k + 1)}^{2} = 294 \Leftrightarrow k^{3} + 2 k^{2} + k = 294 \\ \Leftrightarrow (k - 6) (k^{2} + 8 k + 49) = 0 \Leftrightarrow k = 6. \end{array}$

Câu 6:

Cho

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{4}) + (1 - \frac{1}{8}) + ... + (1 - \frac{1}{2^{n}})

. Tính S₁₀.

Xem đáp án

Ta có $S_{n} = n - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}})$

Đặt $M = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow 2 M = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}} \begin{array}{l} \Rightarrow 2 M - M = M = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} ... + \frac{1}{2^{n}}) = 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow S_{n} = n - 1 + \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow S_{10} = 10 - 1 + \frac{1}{2^{10}} = 9 + \frac{1}{2^{10}} \end{array}$

Câu 7:

Cho tổng S(n)=2+4+6+...+2n. Khi đó S₃₀ bằng

A. 900

B. 930

C. 901

D. 830

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $S_{30} = 2 + 4 + 6 + ... + 60$

$\Rightarrow 2 S_{30} = (2 + 60) + (4 + 58) + (6 + 56) + ... + (60 + 2)$ (có 30 ngoặc đơn)

$\Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) .30}{2} = 930$

Câu 8:

Cho tổng

S (n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}

. Khi đó công thức tính tổng S(n) là

A. $S (n) = \frac{n}{n + 2} .$

B. $S (n) = \frac{n}{n + 1} .$

C. $S (n) = \frac{2 n}{n + 1} .$

D. $S (n) = \frac{n}{2^{n}} .$

Xem đáp án

Chọn B

$S (n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$

Câu 9:

Cho tổng

S_{n} = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + \frac{7}{{(3.4)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}} .

Giá trị S₁₀ là

A. 1

B. $\frac{121}{120} .$

C. $\frac{119}{121} .$

D. $\frac{120}{121} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $S_{10} = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + \frac{7}{{(3.4)}^{2}} + ... + \frac{21}{{(10.11)}^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121} .$

Câu 10:

Tổng

S = \sin x + \sin 2 x + ... + \sin n x

(với

x \neq k π)

có công thức thu gọn là

A. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

B. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

C. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

D. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \cos \frac{x}{2}} .$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$2 \sin \frac{x}{2} . S = 2 \sin x . \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 2 x . \sin \frac{x}{2} + .. + 2 \sin n x . \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3 x}{2} + \cos \frac{3 x}{2} - \cos x \frac{5 x}{2} + ... + \cos x \frac{2 n - 1}{2} x - \cos \frac{2 n + 1}{2} x = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} x$

Vậy

S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}}

Câu 11:

Tổng

S_{n} = \frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ... + \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)}, n \in ℕ^{*}

có công thức thu gọn là

A. $S_{n} = \frac{3 n}{3 n + 1} .$

B. $S_{n} = \frac{n}{3 n - 1} .$

C. $S_{n} = \frac{n}{3 n + 1} .$

D. $S_{n} = \frac{n}{3 n - 2} .$

Xem đáp án

Chọn C

$S_{n} = \frac{1}{3} [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{13}) + ... + (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})] = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 n + 1}) = \frac{n}{3 n + 1}$

Câu 12:

Tổng

S_{n} = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + n (2 n + 1)

có công thức thu gọn là

A. $\frac{n (n + 1) (4 n + 1)}{4} .$

B. $\frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{6} .$

C. $\frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{4} .$

D. $\frac{n (n + 1) (4 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án

Chọn C

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i (2 i + 1) = \sum_{i = 1}^{n} (2 i^{2} + 1) = 2 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{6}

Câu 13:

Tổng

S = {4.5}^{100} . (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}) + 1

có kết quả bằng

A. $5^{100} - 1.$

B. $5^{100} .$

C. $5^{101} - 1.$

D. $5^{101} .$

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}$

Ta có

$5 M = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + ... + \frac{1}{5^{99}} \Rightarrow 5 M - M = (1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + ... + \frac{1}{5^{99}}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} ... + \frac{1}{5^{100}}) = 1 - \frac{1}{5^{100}} \Rightarrow 4 M = 1 - \frac{1}{5^{100}} \Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} \Rightarrow S = {4.5}^{100} . \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$