Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE
284
06/01/2024
Bài 97 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
b) Chứng minh trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE
Trả lời
a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.
Xét BAD và BED có:
,
BD là cạnh chung,
(do BD là tia phân giác của góc ABC)
Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).
Xét ABK và EBK có:
BA = BE (chứng minh trên),
(do BD là tia phân giác của góc ABC),
BK là cạnh chung
Do đó ABK = EBK (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù)
Nên
Hay BK ⊥ AE.
Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
b) Ta có (hai góc kề bù)
Mà (vì tam giác ECD vuông tại E nên góc EDC là góc nhọn)
Suy ra
Do góc ADE là góc tù nên trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
Vậy trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.
c) Xét tam giác ABE có H là trực tâm, để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE thì tam giác BAE là tam giác đều (theo kết quả của Bài tập 95, trang 97, Sách Bài tập Toán 7, Tập hai).
Do đó hay .
Vậy điều kiện để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE là tam giác ABC vuông tại A có .
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác
Bài tập cuối chương 7