Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 1 (Kết nối tri thức)

1900.edu.vn xin giới thiệu giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 1 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm Chuyên đề học tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).

a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.

Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: AH=x+1;2x3, vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là uΔ=1;2.

Vì AH vuông góc với ∆ nên AH.uΔ=0x+1.1+2x3.2=0.

Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).

Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra xA'=2xHxA=2.11=3yA'=2yHyA=2.12=0. Vậy A'(3; 0).

b)

Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.

Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.

Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.

Ta có: A'B=6;4, suy ra nA'B=2;3 là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.

Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình 2xy1=02x+3y6=0 x=98y=54. Vậy M98;54.

Bài 1.28 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;4.

Lời giải:

Cách 1: ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;4 nên M' thuộc đường thẳng d'.

Vậy phương trình đường thẳng d' là 2x – y 

Lấy A(0; 5), B(1; 7) thuộc đường thẳng d.

Gọi A', B' tương ứng là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;4.

Khi đó: AA'=u  và BB'=u. Suy ra A'(– 3; 9) và B'(– 2; 11).

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;4 nên hai điểm A', B' thuộc đường thẳng d'.

Ta có: A'B'=1;2, suy ra đường thẳng d' có một vectơ pháp tuyến là n=2;1.

Phương trình đường thẳng d' là 2(x + 3) – (y – 9) = 0 hay 2x – y + 15 = 0.

Cách 2:

Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng d và M'(x'; y') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ u3;4. Khi đó MM'=u x'x=3y'y=4x=x'+3y=y'4.

Ta có M thuộc ∆ ⇔ 2x – y + 5 = 0 ⇔ 2(x' + 3) – (y' – 4) + 5 = 0 ⇔ 2x' – y' + 15 = 0. Do đó, M'(x'; y') thuộc đường thẳng có phương trình 2x – y + 15 = 0.

Vì đường thẳng d' là + 15 = 0.

Bài 1.29 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).

Lời giải:

Ta có (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 hay x2 + y2 – 2 . 1 x – 2 . 2 y – 4 = 0.

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 12+224=3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra xI'=2xAxI=2.31=5yI'=2yAyI=2.32=8 nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

(x – 5)2 + [y – (– 8)]2 = 32 hay (x – 5)2 + (y + 8)2 = 9.

Bài 1.30 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

Lời giải:

Ta có (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 hay (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 = 32.

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và R' = |– 2|.R = 2 . 3 = 6.

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(O, – 2) nên OI'=2OI.

Suy ra xI'=2xI=2.1=2yI'=2yI=2.2=4 nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

[x – (– 2)]2 + (y – 4)2 = 62 hay (x + 2)2 + (y – 4)2 = 36.

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho EF không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Lời giải:

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Ta có: EF=m (m > 0) không đổi.

Đặt u=EF u0u không đổi, khi đó u=m không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ -u. Khi đó BG=u. Vì B cố định và u không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và EF=u=BG hay EF=GB. Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho E'F'=u và E'F'=u=m.

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ta có:  (m > 0) không đổi.

Đặt ,  không đổi, khi đó  không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó . Vì B cố định và  không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và  hay . Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho  và .

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 1.32 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đỉnh B, C cố định còn đỉnh A thay đổi trên đường tròn đó. Vẽ hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải:

Bài 1.32 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC.

Do B, C cố định nên vectơ BC cố định.

Khi đó ta có phép tịnh tiến theo vectơ BC biến điểm A thành điểm D. Mặt khác, A thuộc đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC nên D thuộc đường tròn tâm O' cố định là ảnh của đường tròn tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ BC. Ở đó, bán kính hai đường tròn bằng nhau và O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ BC được xác định bởi OO'=BC.

Bài 1.33 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABM tam giác AMN vuông cân tại M. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm N luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.

Lời giải:

Bài 1.33 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Trên cạnh AN, lấy điểm C sao cho AC = AM.

Tam giác AMN vuông cân tại M nên CAM^=NAM^=45° và AN = 2AM = 2AC.

Vì AM = AC và CAM^=45° nên ta có phép quay tâm A, góc quay 45° biến điểm M thành điểm C.

Vì AN = 2AC và C thuộc AN nên 2, do đó ta có phép vị tự tâm A, tỉ số 2 biến điểm C thành điểm N.

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A, góc quay 45° và phép vị tự tâm A, tỉ số 2 biến điểm M thành điểm N. Mặt khác, M thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên N thuộc nửa đường tròn đường kính AK cố định là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A, góc quay 45° và phép vị tự tâm A, tỉ số 2. Ở đó K là ảnh của B qua phép đồng dạng trên, K thỏa mãn BAK^=45° (theo chiều dương) và AK = 2AB. 

Bài 1.34 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Bằng quan sát và đo đạc, hãy cho biết hai hình sau (H.1.55) có đồng dạng với nhau hay không.

Bài 1.34 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Lời giải:

Thực hiện đo đạc và quan sát, ta nhận thấy hai hình đã cho không đồng dạng với nhau.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề học tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài 8: Một vài khái niệm cơ bản

Bài 9: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 10: Bài toán tìm đường tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản

Câu hỏi liên quan

a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.
Xem thêm
Ta có (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 hay x2 + y2 – 2 . 1 x – 2 . 2 y – 4 = 0.
Xem thêm
Ta có (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 hay (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 = 32.
Xem thêm
Thực hiện đo đạc và quan sát, ta nhận thấy hai hình đã cho không đồng dạng với nhau.
Xem thêm
Cách 1: ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ  nên M' thuộc đường thẳng d'.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Bài tập cuối chuyên đề 1 - CĐ
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!