Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục
1. Phép đối xứng trục
a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.
b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?
Lời giải:
a) Đường thẳng giao bởi cầu và mặt nước trên dòng sông là trục đối xứng của hình ảnh đó (đường màu xanh trong hình vẽ).
b) Có thể đếm được 5 bóng điện dưới dòng sông. Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện tương ứng với từng số thứ tự trên cầu như ảnh.
a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (x; – y).
b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (– x; y).
c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điểm A'(– 1; – 2).
Lời giải:
Từ hình vẽ ta thấy:
+) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M1(x; – y).
+) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M2(– x; y).
Do đó, phép đối xứng trục Ox biến điểm A(1; 2) thành A'(1; – 2).
Vậy các khẳng định a), b) đúng và khẳng định c) sai.
2. Tính chất
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính MN2, M'N'2 theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Lời giải:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó M'(– x1; y1) và N'(– x2; y2).
b) Ta có: = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
= (– x2 + x1)2 + (y2 – y1)2.
c) Ta có: (x2 – x1)2 = (x1 – x2)2 = (– x2 + x1)2.
Do đó (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = (– x2 + x1)2 + (y2 – y1)2 hay MN2 = M'N'2.
Suy ra MN = M'N'.
Lời giải:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: . Suy ra .
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x' = x và y' = – y.
Ta có: M ∈ d ⇔ 3x – y – 1 = 0 ⇔ 3x' – (– y') – 1 = 0 ⇔ 3x' + y' – 1 = 0 ⇔ M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là 3x + y – 1 = 0.
Lời giải:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng ∆' là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định ∆' là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép đối xứng trục d.
Lời giải:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Bài tập
Lời giải:
Cách xác định:
- Nối điểm A với điểm B;
- Xác định trung điểm I của AB. Qua I vẽ đường thẳng d vuông góc với AB.
Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy ta có phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm B.
Lời giải:
Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm nên ta xác định phép đối xứng trục biến đường tròn (O1; R) thành đường tròn (O2; R) thì chỉ cần xác định phép đối xứng trục biến tâm O1 thành tâm O2.
Ta xác định đường trung trực d của đoạn thẳng O1O2. Khi đó phép đối xứng trục d biến O1 thành O2. Vậy phép đối xứng trục d biến đường tròn (O1; R) thành đường tròn (O2; R).
Lời giải:
Vì M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d nên phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm M và biến điểm B thành điểm N. Do đó, d là đường trung trực của đoạn thẳng AM và đoạn thẳng BN. Suy ra AM // BN (vì cùng vuông góc với d).
Suy ra tứ giác AMNB là hình thang (1).
Gọi F là trung điểm của BN, khi đó F thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BN nên phép đối xứng trục d biến điểm F thành chính nó.
Từ đó suy ra phép đối xứng trục d biến góc ABF thành góc MNF nên hay (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMNB là hình thang cân.
Vậy A, B, M, N là 4 đỉnh của một hình thang cân.
Lời giải:
Đường thẳng d đối xứng với ∆ qua trục Ox hay d là ảnh của ∆ qua phép đối xứng trục Ox.
Cách 1:
Lấy hai điểm A(1; 0) và B(– 1; 1) thuộc ∆.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(1; 0) và B'(– 1; – 1).
Vì d là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d.
Ta có: . Suy ra .
Vậy d có phương trình là 1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó x' = x và y' = – y.
Ta có: M ∈ ∆ ⇔ x + 2y – 1 = 0 ⇔ x' + 2.(– y') – 1 = 0 ⇔ x' – 2y' – 1 = 0 ⇔ M' thuộc đường thẳng d có phương trình là x – 2y – 1 = 0.
Lời giải:
Sử dụng tính đối xứng trục, ta vẽ được hình:
Xem thêm các bài giải Chuyên đề học tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
