Với  x,y  không âm .  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$P=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2009,5$

Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,a,b\ge 0$, ta  có:

$P=a^2-2ab+3b^2-2a+2009,5$

$\begin{array}{l}=a^2-2\left(b+1\right)a+3b^2+2009,5\\ =a^2-2\left(b+1\right)a+{\left(b+1\right)}^2+2b^2-2b+2008,5\\ ={\left(a-b-1\right)}^2+2{\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+2008\ge 2008\end{array}$

$\Rightarrow MinP=2008\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}=\frac{3}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.\left(tmdk\right)$

Vậy $P_{\min }=2008\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{1}{4}\end{array}\right.$