Từ một điểm M   ở ngoài đường tròn O   bán kính R  vẽ hai tiếp tuyến MA, MB  đến đường tròn  O   bán kính   R ( Với  A,B   là hai tiếp điểm ) . Qua A vẽ đường thẳng song song với  MB cắt đường tròn tâm O  tại  E  Đoạn ME  cắt đường tròn tâm  O tại F  .Hai đường thẳng  AF   và MB  cắt nhau tại   I

a)     Chứng minh tứ giác  MAOB   nội tiếp đường tròn.

b)    Chứng minh  $I{B}^2=IF.IA.$

c)    Chứng minh $IM=IB.$

a, Ta có: MA  là tiếp tuyến của $\left(O\right)\Rightarrow OA\perp MA\Rightarrow \angle OAM=90°$

MB là tiếp tuyến của (O)$\iff OB\perp MB\Rightarrow \angle OBM=90°$

$\Rightarrow \angle OAM+\angle OBM=180°\Rightarrow MAOB$là tứ giác nội tiếp

b)    Xét $\Delta IBA$và $\Delta IFB$ có: $\angle BIA$chung, $\angle IAB=\angle IBF$(cùng chắn $\stackrel{⏜}{BF})$

$\Rightarrow \Delta IBA\backsim \Delta IFB$$\Rightarrow \frac{IB}{IF}=\frac{IA}{IB}\Rightarrow I{B}^2=IF.IA\left(1\right)$

c)    Ta có: $AE//MB\left(gt\right)\Rightarrow \angle IMF=\angle FAM$(cùng chắn $\stackrel{⏜}{AF)}$

$\Rightarrow \angle IMF=\angle FAM\Rightarrow \Delta IMF\backsim \Delta IAM\Rightarrow \frac{IM}{IF}=\frac{IA}{IM}$$\Rightarrow I{M}^2=IA.IF\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $I{B}^2=I{M}^2\Rightarrow IB=IM$