Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 3; 5) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C sao cho

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 3; 5) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C sao cho OA,OB,OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là

Trả lời

Gọi $A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox, Oy, Oz.

Phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Vì $M(2;3;5)\in \left(P\right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c}=1(*).$

Lại có OA; OB; OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q = 3

Nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}b=aq\\ c=a{q}^2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}b=3a\\ c=9a\end{array}\Rightarrow (*)\iff \frac{2}{a}+\frac{3}{3a}+\frac{5}{9a}=1\iff a=\frac{32}{9}\right.\right..$

Với $a=\frac{32}{9}\Rightarrow b=\frac{32}{3};c=32.$

Phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{9}{32}x+\frac{3}{32}y+\frac{1}{32}z=1\iff 9x+3y+z-32=0.$

$d(O;(P\left)\right)=\frac{|-32|}{\sqrt{9^2+3^2+1^2}}=\frac{32}{\sqrt{91}}\text{. }$

Chọn C