A.  $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Ta có  $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\Rightarrow C^{\text{'}}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};2a\right).$

$\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}\Rightarrow B^{\text{'}}\left(0;a;2a\right).$

Điểm D là trung điểm của BB' nên  $D\left(0;a;a\right).$

$M(0;0;t)$ với $0<t<2a.$  Ta có  $\overrightarrow{D{C}^{\text{'}}}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};a\right),\overrightarrow{DM}=\left(0;-a;t-a\right).$

Ta có:

 $S_{MD{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{D{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{DM}\right]\right|=\frac{a\sqrt{4t^2-12at+15a^2}}{4}=\frac{a\sqrt{{\left(2t-3a\right)}^2+6a^2}}{4}\ge \frac{a^2\sqrt{6}}{4}.$

Suy ra ${\mathrm{minS}}_{△MD{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}$  khi  $t=\frac{3}{2}a.$

Chọn C.