Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$  và hai điểm $A\left(4;3;1\right),B\left(3;1;3\right);$  M là điểm thay đổi trên (S). Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $P=2M{A}^2-M{B}^2.$  Giá trị $(m-n)$   bằng

A. 64.

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;-1\right)$  và bán kính R = 3.

Lấy điểm E sao cho $2\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}\iff E\left(5;5;-1\right).$  Ta có  $IE=5.$

Dễ thấy điểm E là điểm nằm ngoài mặt cầu (S).

Khi đó  $P=2M{A}^2-M{B}^2=2{\left(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{AE}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{BE}\right)}^2=M{E}^2+2A{E}^2-B{E}^2.$

P lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất và nhỏ nhất.

 $\max ME=IE+R=8;\min ME=IE-R=2.$

Do đó  $m=\max P=64+2A{E}^2-B{E}^2;n=\min P=4+2A{E}^2-B{E}^2.$

Suy ra  $m-n=60.$

Chọn B.