Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y-2)^2
66
22/04/2024
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z+1)2=9 và hai điểm A(4;3;1), B(3;1;3); M là điểm thay đổi trên (S). Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P=2MA2−MB2. Giá trị (m−n) bằng
B. 60.
C. 68.
D. 48.
Trả lời
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;−1) và bán kính R = 3.
Lấy điểm E sao cho 2→AE−→BE=→0⇔E(5;5;−1). Ta có IE=5.
Dễ thấy điểm E là điểm nằm ngoài mặt cầu (S).
Khi đó P=2MA2−MB2=2(→ME−→AE)2−(→ME−→BE)2=ME2+2AE2−BE2.
P lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất và nhỏ nhất.
maxME=IE+R=8;minME=IE−R=2.
Do đó m=maxP=64+2AE2−BE2; n=minP=4+2AE2−BE2.
Suy ra m−n=60.
Chọn B.
