Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho hai điểm A ( 3 ; 1 ; 7 ) ; B ( 5 ; 5 ; 1 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 4 = 0 . Điểm M thuộc ( P ) sao cho M A = M B = √ 35 . Biết

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;1;7} \right);B\left( {5;5;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - z + 4 = 0$. Điểm $M$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MA = MB = \sqrt {35}$. Biết $M$ có hoành độ nguyên, tính $OM$.

A. $4.$

B. $\sqrt 2 .$

C. $2\sqrt 2 .$

D. $8.$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ với $a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{R},c \in \mathbb{R}.$

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)$ và $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\MA = MB = \sqrt {35} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = 35\end{array} \right.$ nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\4a - 8b - 12c = - 8\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14a = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.$ (do $a \in \mathbb{Z}$).

Ta có $M\left( {0;2;2} \right)$ nên suy ra $OM = 2\sqrt 2 .$