Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:

a) Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$;

b) Đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox;

c) Đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 90°;

d) So sánh độ dài các đoạn thẳng AB, A1B1, A2B2, A3B3.

a) Lấy điểm M, sao cho M(5; 0). Khi đó $\overrightarrow{OM}=\left(5;0\right)=\overrightarrow{u}$.

Lấy các điểm A1 và B1 sao cho $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{OM}$. Khi đó $\overrightarrow{{\text{AA}}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{u}$ nên A1, B1 lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$. Vậy đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$.

b) Từ A1, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, trên đường thẳng này lấy A2 khác phía với A1 đối với Ox sao cho khoảng cách từ A1 đến Ox bằng khoảng cách từ A2 tới Ox. Khi đó Ox là đường trung trực của đoạn thẳng A1A2.

Tương tự, dựng B2 sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng B1B2.

Khi đó ta có phép đối xứng trục Ox biến các điểm A1, B1 tương ứng thành các điểm A2, B2. Vậy đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox.

c) Phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với O­A2, trên đường thẳng này lấy điểm A3 sao cho OA2 = OA3 và góc quay từ A2 đến A3 theo chiều kim đồng hồ. Khi đó A3 là ảnh của điểm A2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Tương tự, xác định được điểm B3 là ảnh của điểm B2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Vậy đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 90°.

d) Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên AB = A1B1.

Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên A1B1 = A2B2.

Vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên A2B2 = A3B3.

Do đó, AB = A1B1 = A2B2 = A3B3.