Tính tổng ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1+2\mathrm{a}+3{\mathrm{a}}^2+4{\mathrm{a}}^3$$+...+\left(\mathrm{n}+1\right){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}$ (a$\ne$1 là số cho trước)

Cho cấp số nhân $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ có ${\text{u}}_{\text{1}}\text{=2}$ công bội dương và biểu thức ${\mathrm{u}}_4+\frac{1024}{{\mathrm{u}}_7}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = ${\mathrm{u}}_{11}+{\mathrm{u}}_{12}+...+{\mathrm{u}}_{20}$

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F = ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2$

Cho cấp số cộng $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ với công sai khác 0. Biết rằng các số ${\mathrm{u}}_1{\mathrm{u}}_2;{\mathrm{u}}_2{\mathrm{u}}_3;{\mathrm{u}}_1{\mathrm{u}}_3$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội (q$\ne$0). Khi đó q bằng:

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khi đó khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày là: khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khi đó khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày là:

Cho dãy số xác định bởi ${\mathrm{u}}_1=1;$${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{3}\left(2{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{n}-1}{{\mathrm{n}}^2+3\mathrm{n}+2}\right)$. Khi đó ${\mathrm{u}}_{2018}$ bằng:

Tính tổng ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1+11+111+...+11..11$ (có 10 chữ số 1)

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ được xác định bởi ${\mathrm{u}}_1=2;{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}-1}+3\mathrm{n}-1$. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng $\mathrm{a}.2^{\mathrm{n}}+\mathrm{bn}+\mathrm{c}$, với  là các số nguyên, . Khi đó có giá trị bằng

Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là 2% . Dân số của thành phố A sau 3 năm nữa sẽ là:

Ba số dương lập thành cấp số nhân, tích của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba bằng 36. Một cấp số cộng có n số hạng, công sai d = 4, tổng các số hạng bằng 510. Biết số hạng đầu của cấp số cộng bằng số hạng thứ 2 của cấp số nhân. Khi đó n bằng: