Tính tổng $S=C_{2020}^0+C_{2020}^2+C_{2020}^4+\mathrm{...}+C_{2020}^{2020}$

Cho khai triển ${\left(1+x+x^2\right)}^{1009}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{2018}{x}^{2018}.$  Khi đó $a_0+a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{2018}$   bằng

Hệ số của số hạng chứa $x^{26}$  trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(\frac{1}{x^4}+x^7\right)}^n$ , biết $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{20}-1$ là

Cho $A=C_n^0+5C_n^1+5^2{C}_n^2+\mathrm{...}+5^n{C}_n^n$  . Khi đó

Cho khai triển ${\left(x-2\right)}^{80}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{80}{x}^{80}$ .

Tổng $S=1.a_1+2.a_2+3.a_3+\mathrm{...}+80.a_{80}$  là

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $3^n{C}_n^0-3^{n-1}{C}_n^1+3^{n-2}{C}_n^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=2048$ . Hệ số của $x^{10}$trong khai triển ${\left(x+2\right)}^n$  là

Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(2-3x\right)}^{2n}$ , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}=1024$ . Tìm hệ số của $x^7$  trong khai triển trên.

Cho $S=C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{...}+C_{15}^{15}$ . Tính S.

Giá trị của tổng $S=C_{2017}^0+\frac{1}{2}{C}_{2017}^1+\frac{1}{3}{C}_{2017}^2+\mathrm{...}+\frac{1}{2018}{C}_{2017}^{2017}$  bằng 

Đặt $S=C_{2018}^0-C_{2018}^1+C_{2018}^2-C_{2018}^3+\mathrm{...}+C_{2018}^{2018}$ . Khi đó: 

Tính tổng $S=C_{10}^0+2.C_{10}^1+2^2.C_{10}^2+\mathrm{...}+2^{10}.C_{10}^{10}$ . 

Đặt $S=C_{2017}^1+C_{2017}^2+\mathrm{...}+C_{2017}^{2017}$ . Khi đó giá trị S là