Câu hỏi:
03/04/2024 61
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C0n1.2+C1n2.3+C2n3.4+...+Cnn(n+1)(n+2)=2100−n−3(n+1)(n+2).
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C0n1.2+C1n2.3+C2n3.4+...+Cnn(n+1)(n+2)=2100−n−3(n+1)(n+2).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ckn(k+1)(k+2)=n!k!(n−k)!(k+1)(k+2)=(n+2)!(n−k)!(k+2)!(n+1)(n+2)=Ck+2n+2(n+1)(n+2).
Suy ra: ∑nk=0Ckn(k+1)(k+2)=∑nk=0Ck+2n+2(n+1)(n+2)
⇔C0n1.2+C1n2.3+C2n3.4+...+Cnn(n+1)(n+2)=C2n+2+C3n+2+C4n+2+...+Cn+2n+2(n+1)(n+2) (∗).
Ta xét khai triển sau: (1+x)n+2=C0n+2+x.C1n+2+x2.C2n+2+x3.C3n+2+...+xn+2.Cn+2n+2.
Chọn x=1→2n+2=C0n+2+C1n+2+C2n+2+C3n+2+...+Cn+2n+2.
Do đó: (∗)⇔2100−n−3(n+1)(n+2)=2n+2−C0n+2−C1n+2(n+1)(n+2)⇔2100=2n+2⇔n=98.
Ckn(k+1)(k+2)=n!k!(n−k)!(k+1)(k+2)=(n+2)!(n−k)!(k+2)!(n+1)(n+2)=Ck+2n+2(n+1)(n+2).
Suy ra: ∑nk=0Ckn(k+1)(k+2)=∑nk=0Ck+2n+2(n+1)(n+2)
⇔C0n1.2+C1n2.3+C2n3.4+...+Cnn(n+1)(n+2)=C2n+2+C3n+2+C4n+2+...+Cn+2n+2(n+1)(n+2) (∗).
Ta xét khai triển sau: (1+x)n+2=C0n+2+x.C1n+2+x2.C2n+2+x3.C3n+2+...+xn+2.Cn+2n+2.
Chọn x=1→2n+2=C0n+2+C1n+2+C2n+2+C3n+2+...+Cn+2n+2.
Do đó: (∗)⇔2100−n−3(n+1)(n+2)=2n+2−C0n+2−C1n+2(n+1)(n+2)⇔2100=2n+2⇔n=98.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4.
Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4.
Xem đáp án »
03/04/2024
111
Câu 2:
Một tổ có 6 học sịnh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó có đúng 2 học sinh nam?
Xem đáp án »
03/04/2024
108
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x−π3)−m=2có nghiệm ?
Xem đáp án »
03/04/2024
103
Câu 4:
Xét mạng đường nối các tỉnh A,B,C,D trong đó số viết trên mỗi cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh( hình vẽ sau). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh D
Xét mạng đường nối các tỉnh A,B,C,D trong đó số viết trên mỗi cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh( hình vẽ sau). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh D
Xem đáp án »
03/04/2024
95
Câu 5:
Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
Xem đáp án »
03/04/2024
91
Câu 9:
Cho tập A gồm n phần tử, n≥1. Số tập con gồm k phần tử của tập A được xác định bởi công thức
Xem đáp án »
03/04/2024
83
Câu 11:
Phương trình tanx=tanαvới αlà một số cho trước có các nghiệm là gì?
Xem đáp án »
03/04/2024
82
Câu 14:
Cho điểm A'và biết A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo Tìm tọa độ điểm A
Xem đáp án »
03/04/2024
79
