Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left(\sqrt{x}+\frac{a}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\right);$

với $x>0,a$  và b   là các hằng số dương cho trước .

$P=\left(x+\frac{ab}{x}\right)+a+b$

Chứng minh:   $x+\frac{ab}{x}\ge 2\sqrt{ab}$

Suy ra  $P\ge 2\sqrt{ab}+a+b={\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right)}^2$

Dấu : “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{ab}{x}\iff x=\sqrt{ab}\\ x>0\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Là:${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2\iff x=\sqrt{ab}$