Tìm các giá trị của tham số m để phương trình  𝑥^2 – 2(m – 1)x + 4 𝑚^2  – m = 0

Bài 6.23 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2$– 2(m – 1)x + 4$m^2$ – m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;

b) có hai nghiệm trái dấu.

Trả lời

Xét x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có:

a = 1 > 0

∆’ = [–(m – 1)]² – 1.(4m² – m) = m² – 2m + 1 – 4m² + m = –3m² – m + 1 .

a)

Để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ > 0

⇔ –3m² – m + 1 > 0

Xét phương trình bậc hai –3m² – m + 1 = 0 có a = –3 < 0 và ∆_ma = (–1)² – 4.(–3).1 = 13 > 0

Do đó, phương trình –3m² – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$m_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6};m_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$

Do đó, –3m² – m + 1 > 0 $\iff \frac{-1-\sqrt{13}}{6}<m<\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$

Vậy khi $\frac{-1-\sqrt{13}}{6}<m<\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$ thì phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

b)

Để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0

⇔ 1.(4m² – m ) < 0

⇔ 4m² – m < 0

Xét phương trình bậc hai 4m² – m = 0 có a = 4 > 0 và ∆_mb = (–1)² – 4.4.0 = 1 > 0

Do đó, phương trình bậc hai 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$m_1=0;m_2=\frac{1}{4}$

Do đó, 4m² – m < 0 ⇔ $0<m<\frac{1}{4}$

Vậy khi $0<m<\frac{1}{4}$ thì phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Hàm số

Bài 16: Hàm số bậc hai

Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 6

Bài 19: Phương trình đường thẳng