Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm của MN.

Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, lại có $OH\perp MN,SH\perp MN$. Do đó góc giữa $\left(\alpha \right)$ và đáy hình nón là $\widehat{SHO}=60°$

Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1 $\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xét $\Delta SOH$ vuông tại O có $\sin 60°=\frac{SO}{SH}\Rightarrow SH=\frac{SO}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Khi đó $MN=2\sqrt{S{N}^2-S{H}^2}=2\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vậy diện tích tam giác SMN là $S_{\Delta SMN}=\frac{1}{2}SH.MN=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$