Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình (2^x+2 - căn bậc hai 2 ) ( 2^x -m) < 0 có tập nghiệm

Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình $\left(2^{x+2}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-m\right)<0$ có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên?

Trả lời

Do m nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;\dots .\text{}}.$ Ta có

$\left(2^{x+2}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-m\right)<0\iff \left({4.2}^x-\sqrt{2}\right)\left(2^x-m\right)<0$

$\iff \frac{\sqrt{2}}{4}<2^x<m\iff {\log }_2\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)<x<{\log }_{2}m$

$\iff \frac{-3}{2}<x<{\log }_{2}m.$

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên thì ${\log }_{2}m\le 5\iff m\le 32.$

Do m nguyên dương nên có 32 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Chọn C