Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại một cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ; để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại hai cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ. Xưởng sản xuất này có 200 kg nguyên liệu và có thể hoạt động trong 50 ngày liên tục. Biết rằng mỗi kg sản phẩm loại một thu lợi nhuận 40 nghìn đồng, mỗi kg sản phẩm loại hai thu lợi nhuận 30 nghìn đồng. Hỏi nên sản xuất mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Gọi x và y lần lượt là số kg sản phẩm loại một và loại hai mà xưởng này sản xuát $(x;y\ge 0).$

Lợi nhuận thu được là $f(x;y)=40x+30y$ nghìn đồng.

Ta có hệ bất phương trình sau đây

$\left\{\begin{array}{l}2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\\ x,y\ge 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\\ x,y\ge 0\end{array}\right.\right.$(*)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác OABC với $O(0;0),A(0;50);B(20;40),C(40;0)$

Ta suy ra f ( x;y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm khi $(x;y)=(20;40).$

Vậy nên sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để lợi nhuận thu được là lớn nhất.