Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB= 2 căn bậc hai 3,BB' =2. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có $AB=2\sqrt{3},B{B}^{\text{'}}=2.$ Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của A'B', A'C', BC. Nếu gọi  là độ lớn góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ACC') thì $\cos \alpha$ bằng

Trả lời

Gọi K là trung điểm của AC.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}BK\perp AC\\ BK\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\Rightarrow BK\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow BK\perp NC\right..$

Kẻ $KH\perp NC(H\in NC),$ suy ra $NC\perp \left(BKH\right)\Rightarrow NC\perp BH.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(MNP\right)\cap \left(AC{C}^{\text{'}}\right)=NC\\ BH\perp NC\\ KH\perp NC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(\widehat{\left(MNP\right),\left(AC{C}^{\text{'}}\right)}\right)=\widehat{KHB}=\alpha .$

Lại có $BK=3,KH=\frac{2\sqrt{21}}{7}\Rightarrow BH=\frac{5\sqrt{21}}{7}.$ Khi đó, $\cos \alpha =\frac{KH}{BH}=\frac{2}{5}.$

Chọn B