Giả sử $\Delta SAM$ là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.

Gọi $AM=x \left(0<x\le 2a\sqrt{3}\right)$

Gọi H là trung điểm của AM

$\Rightarrow OH\perp AM\Rightarrow AM\perp \left(SOH\right)\Rightarrow AM\perp SH$

Vì $\widehat{ASB}=120°\Rightarrow \widehat{ASO}=60°\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SA=\frac{AO}{\sin 60°}=2a\\ SO=\frac{AO}{\tan 60°}=a\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{x^2}{4}}\Rightarrow SH=\sqrt{O{H}^2+S{O}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}} \\ {S}_{\Delta SAM}=\frac{1}{2}AM.SH=\frac{1}{2}x\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}} \end{gathered}$$

Ta có $S^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}}-\frac{x^2}{4\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}}}\right]=\frac{16a^2-2x^2}{8\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}}}\Rightarrow S^{\text{'}}=0\Rightarrow x=2a\sqrt{2}$