Hàm số nào sau đây không liên tục trên tập xác định của nó?

A. y = x.

B. \(y = \frac{1}{x}\).

C. y = sin x.

D. \(y = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\end{array} \right.\).

- Các hàm số y = x, y = sin x liên tục trên ℝ.

- Hàm số \(y = \frac{1}{x}\) liên tục trên các khoảng xác định của nó là (–∞; 0) và (0; +∞).

- Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\end{array} \right.\) có tập xác định D = ℝ.

Xét tại x = 0, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\).

Suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\). Vậy hàm số này không liên tục tại x = 0.

Do vậy hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\end{array} \right.\) không liên tục trên tập xác định của nó.