Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình $x^6+6x^4-m^3{x}^3+13x^2-mx+10\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in [1;4].$ Tích tất cả các phần tử của S là

Trả lời

Ta có

$x^6+6x^4-m^3{x}^3+13x^2-mx+10\ge 0\iff {\left(x^2+2\right)}^3+\left(x^2+2\right)\ge {\left(mx\right)}^3+\left(mx\right)(*)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+1>0\Rightarrow f\left(t\right)$ luôn đồng biến.

Do đó $(*)\iff f\left(x^2+2\right)\ge f\left(mx\right)\iff x^2+2\ge mx$

Do đó, $x^6+6x^4-m^3{x}^3+13x^2-mx+10\ge 0\forall x\in [1;4]$

$\iff x^2+2\ge mx\forall x\in [1;4]\iff x+\frac{2}{x}\ge m\forall x\in [1;4](**)$

$\iff 2\sqrt{2}\ge m$ (Do áp dụng BĐT Cauchy, $\forall x\in [1;4],x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$ )

Mà m là số nguyên dương nên $m\in \{1;2\}\Rightarrow S=\{1;2\}.$

Chọn D