Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) cos⁶ x – sin⁶ x = 0;

d) tan 2x cot x = 1. 

Lời giải

a) Ta có (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + \cos x = 0\\3\cos 2x - 1 = 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình 2 + cos x = 0 vô nghiệm vì – 1 ≤ cos x ≤ 1.

+ Gọi α là góc thoả mãn cos α = \(\frac{1}{3}\). Ta có

3cos 2x – 1 = 0 ⇔ cos 2x = cos α ⇔ 2x = ± α + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x = \( \pm \frac{\alpha }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = \( \pm \frac{\alpha }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ) với cos α = \(\frac{1}{3}\).

b) Ta có 2sin 2x – sin 4x = 0

⇔ 2sin 2x – 2sin 2x cos 2x = 0

⇔ 2sin 2x(1 – cos2x) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = 1\end{array} \right.\)

Do sin² 2x + cos² 2x = 1 nên cos 2x = 1 kéo theo sin 2x = 0, do đó phương trình đã cho tương đương với

sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ (k ∈ ℤ) \( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Ta có cos⁶ x – sin⁶ x = 0

⇔ cos⁶ x = sin⁶ x

⇔ (cos² x)³ = (sin² x)³

⇔ cos² x = sin² x

⇔ cos² x – sin² x = 0

⇔ cos 2x = 0

Từ đó ta được 2x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ) hay \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Điều kiện sin x ≠ 0 và cos 2x ≠ 0.

Ta có tan 2x cot x = 1

\( \Leftrightarrow \tan 2x = \frac{1}{{\cot x}}\)

⇔ tan 2x = tan x

⇔ 2x = x + kπ   (k ∈ ℤ)

⇔ x = kπ   (k ∈ ℤ).

Ta thấy x = kπ (k ∈ ℤ) không thoả mãn điều kiện sin x ≠ 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.