Giải các bất phương trình lôgarit sau: d) log2 (2x – 1) ≤ log4 (x + 1)2.

Trả lời

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ {\left(x+1\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\ne -1\end{array}\right.\iff x>\frac{1}{2}$  .

Ta có: ${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2$$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{{\log }_{2}4}$

$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{2}\iff 2{\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\log }_2{\left(2x-1\right)}^2\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\left(2x-1\right)}^2\le {\left(x+1\right)}^2\iff 4x^2-4x+1\le x^2+2x+1$

$\iff 3x^2-6x\le 0\iff 3x\left(x-2\right)\le 0\iff 0\le x\le 2$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $\frac{1}{2}<x\le 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{2};2\right]$  .