$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=4\left(m^2+1\right)x^3-4mx=4x\left[\left(m^2+1\right)x^2-m\right] \\ {y}^{\text{'}}=0\iff 4x\left[\left(m^2+1\right)x^2-m\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{m}{m^2+1}}\left(m>0\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với $x_A<x_B<x_C$) là

Quay $\Delta ABC$ quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là

$V=2.\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi B{I}^2.IC=\frac{2}{3}\pi {\left(\frac{m^2}{m^2+1}\right)}^2.\sqrt{\frac{m}{m^2+1}}=\frac{2}{3}\pi \sqrt{\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}}$

Xét hàm $f\left(m\right)=\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}$

Ta có $f^{\text{'}}\left(m\right)=\frac{m^8\left(9-m^2\right)}{{\left(m^2+1\right)}^6};\left(m\right)=0\iff m=3\left(m>0\right)$

Ta có bảng biến thiên

Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3